Номер 5.147, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.147. Докажите тождество:

1) $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3;$

2) $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6;$

3) $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2;$

4) $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2.$

1) Докажем тождество $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b)=(a-b)^3$.
Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что $b-a = -(a-b)$, тогда $-2ab(b-a) = -2ab(-(a-b)) = 2ab(a-b)$.
Подставим это в выражение:
$(a+b)^2(a-b) + 2ab(a-b) - 6ab(a-b)$
Приведем подобные слагаемые:
$(a+b)^2(a-b) - 4ab(a-b)$
Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки:
$(a-b) \cdot ((a+b)^2 - 4ab)$
Раскроем квадрат суммы в скобках: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$(a-b) \cdot (a^2+2ab+b^2 - 4ab)$
Упростим выражение во вторых скобках:
$(a-b) \cdot (a^2-2ab+b^2)$
Выражение во вторых скобках является квадратом разности: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Получаем:
$(a-b) \cdot (a-b)^2 = (a-b)^3$
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(a+b)^2(a-b)-2ab(b-a)-6ab(a-b) = (a-b)((a+b)^2-4ab) = (a-b)(a^2+2ab+b^2-4ab) = (a-b)(a^2-2ab+b^2) = (a-b)(a-b)^2 = (a-b)^3$.

2) Докажем тождество $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3)=2a^6$.
Преобразуем левую часть. Первое слагаемое является формулой суммы кубов, где в качестве слагаемых выступают $a^2$ и $b^2$:
$(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6+b^6$.
Второе слагаемое является формулой разности квадратов:
$(a^3-b^3)(a^3+b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6-b^6$.
Подставим преобразованные выражения в левую часть исходного равенства:
$(a^6+b^6) + (a^6-b^6) = a^6+b^6+a^6-b^6 = 2a^6$.
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Ответ: $(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)+(a^3-b^3)(a^3+b^3) = (a^6+b^6) + (a^6-b^6) = 2a^6$.

3) Докажем тождество $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$.
Это тождество Брахмагупты-Фибоначчи. Докажем его, раскрыв скобки в обеих частях равенства.
Преобразуем левую часть:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.
Преобразуем правую часть, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = (a^2c^2+2abcd+b^2d^2) + (a^2d^2-2abcd+b^2c^2)$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^2c^2+2abcd+b^2d^2 + a^2d^2-2abcd+b^2c^2 = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$.
Левая и правая части равны. Тождество доказано.
Ответ: Правая часть: $(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2 = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$. Левая часть: $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2$. Части равны.

4) Докажем тождество $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2)=(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2$.
Раскроем скобки в левой и правой частях равенства.
Левая часть:
$(a^2+cb^2)(d^2+ce^2) = a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + c^2b^2e^2$.
Правая часть:
$(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2 = (a^2d^2+2adcbe+c^2b^2e^2) + c(a^2e^2-2aebd+b^2d^2)$.
Раскроем вторые скобки в правой части:
$a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2 + ca^2e^2-2cabde+cb^2d^2$.
Приведем подобные слагаемые ($2abcde$ и $-2abcde$ взаимно уничтожаются):
$a^2d^2+c^2b^2e^2+ca^2e^2+cb^2d^2$.
Перегруппируем слагаемые для соответствия с левой частью:
$a^2d^2 + a^2ce^2 + cb^2d^2 + c^2b^2e^2$.
Левая и правая части равны. Тождество доказано.
Ответ: Правая часть: $(ad+cbe)^2+c(ae-bd)^2 = a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2+c(a^2e^2-2abde+b^2d^2) = a^2d^2+2abcde+c^2b^2e^2+ca^2e^2-2abcde+cb^2d^2 = a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2$. Левая часть: $(a^2+cb^2)(d^2+ce^2) = a^2d^2+a^2ce^2+cb^2d^2+c^2b^2e^2$. Части равны.