Номер 5.142, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.142. Разложите на множители:

1) $x^2-5x+6;$

2) $x^2+6x+8;$

3) $m^2-7mn+12n^2;$

4) $a^2-7ab+10b^2.$

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2-5x+6$, можно приравнять его к нулю и найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x+6=0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения ($x^2+px+q=0$) сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. В нашем случае $p=-5$ и $q=6$.

Таким образом, ищем два числа, сумма которых $x_1+x_2=5$, а произведение $x_1 \cdot x_2=6$. Легко подобрать эти числа: это 2 и 3.

Значит, корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=3$.

Разложение квадратного трехчлена на множители выполняется по формуле $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

В нашем случае коэффициент $a=1$, поэтому:

$x^2-5x+6 = 1 \cdot (x-2)(x-3) = (x-2)(x-3)$.

В качестве альтернативного способа можно использовать метод группировки. Представим средний член $-5x$ как сумму $-2x-3x$:

$x^2-5x+6 = x^2-2x-3x+6 = (x^2-2x) - (3x-6) = x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3)$.

Ответ: $(x-2)(x-3)$.

2) Разложим на множители трехчлен $x^2+6x+8$. Для этого найдем корни уравнения $x^2+6x+8=0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1+x_2=-6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2=8$.

Подбором находим корни: $x_1=-2$ и $x_2=-4$.

Используя формулу разложения $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=1$, получаем:

$x^2+6x+8 = (x-(-2))(x-(-4)) = (x+2)(x+4)$.

Ответ: $(x+2)(x+4)$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $m^2-7mn+12n^2$, будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $m$.

Представим средний член $-7mn$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, сумма которых равна коэффициенту при $mn$, то есть -7, а произведение равно коэффициенту при $n^2$, то есть 12. Это числа -3 и -4.

Таким образом, $-7mn = -3mn - 4mn$.

Подставим это в исходное выражение и применим метод группировки:

$m^2-7mn+12n^2 = m^2-3mn-4mn+12n^2 = (m^2-3mn) - (4mn-12n^2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы за скобки:

$m(m-3n) - 4n(m-3n) = (m-3n)(m-4n)$.

Ответ: $(m-3n)(m-4n)$.

4) Разложим на множители выражение $a^2-7ab+10b^2$. Данное выражение является однородным многочленом второй степени, и его можно разложить аналогично квадратному трехчлену.

Представим средний член $-7ab$ в виде суммы. Ищем два числа, сумма которых равна -7, а произведение равно 10. Это числа -2 и -5.

Следовательно, $-7ab = -2ab - 5ab$.

Подставим и выполним группировку:

$a^2-7ab+10b^2 = a^2-2ab-5ab+10b^2 = (a^2-2ab) - (5ab-10b^2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a-2b) - 5b(a-2b) = (a-2b)(a-5b)$.

Ответ: $(a-2b)(a-5b)$.