Номер 5.144, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.144. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6;$

2) $x^4+x^3+6x^2+5x+5.$

1) Для разложения многочлена $x^3+6x^2+11x+6$ на множители найдем один из его корней. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена. В данном случае свободный член равен 6, его делители: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим, является ли $x=-1$ корнем многочлена, подставив это значение в выражение:
$P(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$.
Поскольку $P(-1) = 0$, то $x=-1$ является корнем многочлена, а следовательно, $(x+1)$ является одним из его множителей.
Теперь разложим многочлен на множители, используя метод группировки, чтобы выделить множитель $(x+1)$:$x^3+6x^2+11x+6 = x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3+x^2) + (5x^2+5x) + (6x+6)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:
$(x+1)(x^2+5x+6)$
Оставшийся квадратный трехчлен $x^2+5x+6$ также можно разложить на множители. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа -2 и -3.
Таким образом, $x^2+5x+6 = (x-(-2))(x-(-3)) = (x+2)(x+3)$.
В итоге получаем полное разложение исходного многочлена:
$(x+1)(x+2)(x+3)$.
Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$.

2) Для разложения многочлена $x^4+x^3+6x^2+5x+5$ воспользуемся методом группировки. Для этого представим член $6x^2$ в виде суммы $x^2+5x^2$.
$x^4+x^3+6x^2+5x+5 = x^4+x^3+x^2+5x^2+5x+5$
Теперь сгруппируем слагаемые:
$(x^4+x^3+x^2) + (5x^2+5x+5)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$x^2(x^2+x+1) + 5(x^2+x+1)$
Видно, что у обеих групп есть общий множитель $(x^2+x+1)$. Вынесем его за скобки:
$(x^2+5)(x^2+x+1)$
Проверим, можно ли разложить полученные множители дальше.
Многочлен $x^2+5$ не имеет действительных корней, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+5 > 0$ для любого действительного $x$.
Для многочлена $x^2+x+1$ найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1-4 = -3$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D<0$), у этого квадратного трехчлена также нет действительных корней.
Следовательно, разложение является окончательным в поле действительных чисел.
Ответ: $(x^2+5)(x^2+x+1)$.