Вопросы, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое математическая модель? Как вы ее понимаете? Приведите пример.

2. На сколько этапов и на какие этапы делится процесс решения текстовых задач? Раскройте смысл каждого этапа с помощью примеров.

1) Подберите какое-либо уравнение или систему уравнений и по ним со- ставьте текстовую задачу.

2) В примере 3 разделите процесс решения на этапы. Это задание целе- сообразно выполнять в группе. Обсудите результаты всем классом и обо- снуйте свои ответы.

1.

Математическая модель — это упрощенное описание какого-либо реального объекта, процесса или явления с помощью математического языка. Она позволяет абстрагироваться от несущественных деталей и сосредоточиться на ключевых характеристиках и взаимосвязях, чтобы проанализировать их, сделать прогнозы или найти оптимальное решение.

По сути, это «перевод» реальной ситуации на язык формул, уравнений, неравенств, функций, графиков, геометрических фигур и т.д. Например, карта города — это геометрическая модель местности. Она не передает рельеф, запахи или шум, но отлично помогает ориентироваться и прокладывать маршруты. Точно так же математическая модель отбрасывает лишнее, чтобы решить конкретную задачу.

Пример: Задача из реальной жизни: нужно рассчитать примерное время поездки на автомобиле из города А в город Б, расстояние между которыми 300 км. В реальности на время влияет множество факторов: пробки, светофоры, ограничения скорости, остановки.
Математическая модель упрощает ситуацию: мы принимаем, что автомобиль будет двигаться с некоторой постоянной средней скоростью, например, 60 км/ч. Тогда моделью будет являться формула:
$S = v \cdot t$
где $S$ — расстояние (300 км), $v$ — средняя скорость (60 км/ч), $t$ — время в пути. С помощью этой модели мы можем легко найти искомое время: $t = S / v = 300 / 60 = 5$ часов.

Ответ: Математическая модель — это представление реальной ситуации с помощью математических символов и соотношений (уравнений, функций и т.д.) для ее анализа и решения. Пример: формула $S = v \cdot t$ как модель для расчета времени поездки.

2.

Процесс решения текстовых задач с помощью математического моделирования традиционно делится на три основных этапа.

Этап 1: Составление математической модели.
На этом этапе происходит «перевод» условия задачи с обычного языка на математический. Для этого необходимо:
1. Внимательно проанализировать условие задачи.
2. Выделить неизвестные величины и обозначить их переменными (например, $x, y, z$).
3. Установить связи между известными и неизвестными величинами и выразить их в виде уравнений, неравенств или их систем.
Пример: Задача: "В корзине было несколько яблок. После того, как в нее положили еще 5 яблок, их стало 12. Сколько яблок было в корзине изначально?"
Моделирование: Обозначим начальное количество яблок за $x$. Тогда, согласно условию, $x + 5 = 12$. Это и есть математическая модель данной задачи.

Этап 2: Работа с математической моделью (решение уравнения/системы).
На этом этапе мы работаем исключительно с математическим объектом, который получили на первом этапе, забыв на время о его реальном смысле. Мы используем известные нам математические правила, свойства, алгоритмы для решения уравнения, системы или нахождения нужных значений функции.
Пример: Продолжая предыдущую задачу, у нас есть модель $x + 5 = 12$.
Решение: Чтобы найти $x$, перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 12 - 5$
$x = 7$
Мы получили математический результат.

Этап 3: Интерпретация результата и запись ответа.
На этом этапе мы возвращаемся от математического решения обратно к исходной задаче.
1. Мы "переводим" полученный математический ответ обратно на язык реальной ситуации.
2. Проверяем, соответствует ли полученный ответ условию задачи и здравому смыслу (например, количество яблок не может быть отрицательным или дробным).
3. Формулируем окончательный ответ на вопрос задачи.
Пример: Мы получили $x = 7$.
Интерпретация: Так как $x$ — это начальное количество яблок, значит, в корзине изначально было 7 яблок. Проверяем: если к 7 яблокам добавить 5, получится 12. Это соответствует условию. Ответ реалистичен.

Ответ: Процесс решения текстовых задач делится на 3 этапа: 1) Составление математической модели (перевод задачи на язык математики), 2) Работа с моделью (решение уравнения или системы), 3) Интерпретация результата (проверка и запись ответа в терминах исходной задачи).

ПЗ

1)

Выбранная система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 300x + 450y = 10500 \end{cases} $

Составленная по ней текстовая задача:
"Для школьной библиотеки закупили 30 книг — учебники по математике и сборники задач. Стоимость одного учебника по математике составляет 300 рублей, а одного сборника задач — 450 рублей. За всю покупку заплатили 10500 рублей. Сколько учебников по математике и сколько сборников задач было куплено?"

Ответ: Задача: Для школьной библиотеки закупили 30 книг — учебники по математике и сборники задач. Стоимость одного учебника по математике составляет 300 рублей, а одного сборника задач — 450 рублей. За всю покупку заплатили 10500 рублей. Сколько учебников по математике и сколько сборников задач было куплено?

2)

Разделим процесс решения составленной задачи на этапы.

Этап 1: Составление математической модели.
Пусть $x$ — количество купленных учебников по математике.
Пусть $y$ — количество купленных сборников задач.
Поскольку всего купили 30 книг, получаем первое уравнение: $x + y = 30$.
Стоимость всех учебников по математике составляет $300x$ рублей.
Стоимость всех сборников задач составляет $450y$ рублей.
Так как общая стоимость покупки равна 10500 рублей, получаем второе уравнение: $300x + 450y = 10500$.
В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая и является математической моделью задачи: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 300x + 450y = 10500 \end{cases} $

Этап 2: Работа с математической моделью.
Решим полученную систему. Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 150:
$2x + 3y = 70$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 3y = 70 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(30 - y) + 3y = 70$
$60 - 2y + 3y = 70$
$y = 70 - 60$
$y = 10$
Теперь найдем $x$:
$x = 30 - y = 30 - 10 = 20$
Математическое решение: $x = 20, y = 10$.

Этап 3: Интерпретация результата.
Вспоминаем, что $x$ — это количество учебников по математике, а $y$ — количество сборников задач. Таким образом, было куплено 20 учебников по математике и 10 сборников задач.
Проверим, соответствует ли это условию задачи:
1. Общее количество книг: $20 + 10 = 30$. Верно.
2. Общая стоимость: $20 \cdot 300 + 10 \cdot 450 = 6000 + 4500 = 10500$ рублей. Верно.
Полученные значения являются целыми и положительными, что соответствует смыслу задачи.

Ответ: Было куплено 20 учебников по математике и 10 сборников задач.