Страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое математическая модель? Как вы ее понимаете? Приведите пример.

2. На сколько этапов и на какие этапы делится процесс решения текстовых задач? Раскройте смысл каждого этапа с помощью примеров.

1) Подберите какое-либо уравнение или систему уравнений и по ним со- ставьте текстовую задачу.

2) В примере 3 разделите процесс решения на этапы. Это задание целе- сообразно выполнять в группе. Обсудите результаты всем классом и обо- снуйте свои ответы.

1.

Математическая модель — это упрощенное описание какого-либо реального объекта, процесса или явления с помощью математического языка. Она позволяет абстрагироваться от несущественных деталей и сосредоточиться на ключевых характеристиках и взаимосвязях, чтобы проанализировать их, сделать прогнозы или найти оптимальное решение.

По сути, это «перевод» реальной ситуации на язык формул, уравнений, неравенств, функций, графиков, геометрических фигур и т.д. Например, карта города — это геометрическая модель местности. Она не передает рельеф, запахи или шум, но отлично помогает ориентироваться и прокладывать маршруты. Точно так же математическая модель отбрасывает лишнее, чтобы решить конкретную задачу.

Пример: Задача из реальной жизни: нужно рассчитать примерное время поездки на автомобиле из города А в город Б, расстояние между которыми 300 км. В реальности на время влияет множество факторов: пробки, светофоры, ограничения скорости, остановки.
Математическая модель упрощает ситуацию: мы принимаем, что автомобиль будет двигаться с некоторой постоянной средней скоростью, например, 60 км/ч. Тогда моделью будет являться формула:
$S = v \cdot t$
где $S$ — расстояние (300 км), $v$ — средняя скорость (60 км/ч), $t$ — время в пути. С помощью этой модели мы можем легко найти искомое время: $t = S / v = 300 / 60 = 5$ часов.

Ответ: Математическая модель — это представление реальной ситуации с помощью математических символов и соотношений (уравнений, функций и т.д.) для ее анализа и решения. Пример: формула $S = v \cdot t$ как модель для расчета времени поездки.

2.

Процесс решения текстовых задач с помощью математического моделирования традиционно делится на три основных этапа.

Этап 1: Составление математической модели.
На этом этапе происходит «перевод» условия задачи с обычного языка на математический. Для этого необходимо:
1. Внимательно проанализировать условие задачи.
2. Выделить неизвестные величины и обозначить их переменными (например, $x, y, z$).
3. Установить связи между известными и неизвестными величинами и выразить их в виде уравнений, неравенств или их систем.
Пример: Задача: "В корзине было несколько яблок. После того, как в нее положили еще 5 яблок, их стало 12. Сколько яблок было в корзине изначально?"
Моделирование: Обозначим начальное количество яблок за $x$. Тогда, согласно условию, $x + 5 = 12$. Это и есть математическая модель данной задачи.

Этап 2: Работа с математической моделью (решение уравнения/системы).
На этом этапе мы работаем исключительно с математическим объектом, который получили на первом этапе, забыв на время о его реальном смысле. Мы используем известные нам математические правила, свойства, алгоритмы для решения уравнения, системы или нахождения нужных значений функции.
Пример: Продолжая предыдущую задачу, у нас есть модель $x + 5 = 12$.
Решение: Чтобы найти $x$, перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 12 - 5$
$x = 7$
Мы получили математический результат.

Этап 3: Интерпретация результата и запись ответа.
На этом этапе мы возвращаемся от математического решения обратно к исходной задаче.
1. Мы "переводим" полученный математический ответ обратно на язык реальной ситуации.
2. Проверяем, соответствует ли полученный ответ условию задачи и здравому смыслу (например, количество яблок не может быть отрицательным или дробным).
3. Формулируем окончательный ответ на вопрос задачи.
Пример: Мы получили $x = 7$.
Интерпретация: Так как $x$ — это начальное количество яблок, значит, в корзине изначально было 7 яблок. Проверяем: если к 7 яблокам добавить 5, получится 12. Это соответствует условию. Ответ реалистичен.

Ответ: Процесс решения текстовых задач делится на 3 этапа: 1) Составление математической модели (перевод задачи на язык математики), 2) Работа с моделью (решение уравнения или системы), 3) Интерпретация результата (проверка и запись ответа в терминах исходной задачи).

ПЗ

1)

Выбранная система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 300x + 450y = 10500 \end{cases} $

Составленная по ней текстовая задача:
"Для школьной библиотеки закупили 30 книг — учебники по математике и сборники задач. Стоимость одного учебника по математике составляет 300 рублей, а одного сборника задач — 450 рублей. За всю покупку заплатили 10500 рублей. Сколько учебников по математике и сколько сборников задач было куплено?"

Ответ: Задача: Для школьной библиотеки закупили 30 книг — учебники по математике и сборники задач. Стоимость одного учебника по математике составляет 300 рублей, а одного сборника задач — 450 рублей. За всю покупку заплатили 10500 рублей. Сколько учебников по математике и сколько сборников задач было куплено?

2)

Разделим процесс решения составленной задачи на этапы.

Этап 1: Составление математической модели.
Пусть $x$ — количество купленных учебников по математике.
Пусть $y$ — количество купленных сборников задач.
Поскольку всего купили 30 книг, получаем первое уравнение: $x + y = 30$.
Стоимость всех учебников по математике составляет $300x$ рублей.
Стоимость всех сборников задач составляет $450y$ рублей.
Так как общая стоимость покупки равна 10500 рублей, получаем второе уравнение: $300x + 450y = 10500$.
В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными, которая и является математической моделью задачи: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 300x + 450y = 10500 \end{cases} $

Этап 2: Работа с математической моделью.
Решим полученную систему. Для удобства можно упростить второе уравнение, разделив обе его части на 150:
$2x + 3y = 70$.
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} x + y = 30 \\ 2x + 3y = 70 \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(30 - y) + 3y = 70$
$60 - 2y + 3y = 70$
$y = 70 - 60$
$y = 10$
Теперь найдем $x$:
$x = 30 - y = 30 - 10 = 20$
Математическое решение: $x = 20, y = 10$.

Этап 3: Интерпретация результата.
Вспоминаем, что $x$ — это количество учебников по математике, а $y$ — количество сборников задач. Таким образом, было куплено 20 учебников по математике и 10 сборников задач.
Проверим, соответствует ли это условию задачи:
1. Общее количество книг: $20 + 10 = 30$. Верно.
2. Общая стоимость: $20 \cdot 300 + 10 \cdot 450 = 6000 + 4500 = 10500$ рублей. Верно.
Полученные значения являются целыми и положительными, что соответствует смыслу задачи.

Ответ: Было куплено 20 учебников по математике и 10 сборников задач.

5.151. Составьте математическую модель следующих высказываний:

1) сумма чисел a и b в 4 раза больше разности a и b; $a + b = 4(a - b)$

2) частное чисел a и b в 5 раз меньше их суммы. $\frac{a}{b} = \frac{a+b}{5}$

1) сумма чисел a и b в 4 раза больше разности a и b;
Чтобы составить математическую модель, необходимо перевести словесное описание на язык математики.

• Сумма чисел $a$ и $b$ записывается как выражение: $a+b$.
• Разность чисел $a$ и $b$ записывается как выражение: $a-b$.
• Фраза "в 4 раза больше" означает, что первая величина (сумма) равна второй величине (разности), умноженной на 4.

Объединяя эти части, мы получаем следующее равенство, которое и является математической моделью данного высказывания:
$a+b = 4(a-b)$

Ответ: $a+b = 4(a-b)$.

2) частное чисел a и b в 5 раз меньше их суммы.
Действуем аналогично первому пункту.

• Частное чисел $a$ и $b$ (результат деления $a$ на $b$) записывается как дробь: $\frac{a}{b}$. При этом подразумевается, что $b \neq 0$.
• Сумма чисел $a$ и $b$ записывается как: $a+b$.
• Фраза "в 5 раз меньше" означает, что первая величина (частное) равна второй величине (сумме), деленной на 5.

Таким образом, мы можем составить следующее равенство:
$\frac{a}{b} = \frac{a+b}{5}$
Эту же модель можно записать в эквивалентном виде, умножив обе части на 5: $5 \cdot \frac{a}{b} = a+b$.

Ответ: $\frac{a}{b} = \frac{a+b}{5}$.

5.152. От текстовой модели перейдите к математической модели:

1) Удвоенное произведение чисел $x$ и $y$ равно 12;

$2xy = 12$

2) утроенное произведение квадрата $p$ и числа $q$ равно 18;

$3p^2q = 18$

3) 14% числа $m$ равны числу $n$;

$0.14m = n$

4) квадрат суммы чисел $a$ и $b$ равен 25.

$(a+b)^2 = 25$

1) Чтобы перевести текстовую модель «Удвоенное произведение чисел x и y равно 12» в математическую, необходимо последовательно перевести словесное описание в математическую форму. Произведение чисел $x$ и $y$ записывается как $x \cdot y$ или просто $xy$. «Удвоенное» означает умножение на 2, следовательно, получаем выражение $2 \cdot xy$. Слово «равно» заменяется на знак «=». Соединив все части, получаем математическую модель в виде уравнения.
Ответ: $2xy = 12$

2) Рассмотрим выражение «утроенное произведение квадрата p и числа q равно 18». «Квадрат p» — это число $p$, возведенное во вторую степень, то есть $p^2$. «Произведение квадрата p и числа q» — это результат умножения $p^2$ на $q$, что записывается как $p^2 \cdot q$ или $p^2q$. «Утроенное» означает умножение на 3, то есть $3 \cdot (p^2q)$ или $3p^2q$. Слово «равно» соответствует знаку «=». Таким образом, итоговое уравнение выглядит следующим образом.
Ответ: $3p^2q = 18$

3) Для перевода фразы «14% числа m равны числу n» в математическую модель нужно вспомнить, как находить процент от числа. Процент — это сотая часть числа. Следовательно, 14% можно представить в виде десятичной дроби $0.14$ (так как $14 / 100 = 0.14$) или обыкновенной дроби $\frac{14}{100}$. Чтобы найти 14% от числа $m$, нужно умножить число $m$ на эту дробь: $0.14 \cdot m$. Выражение «равны числу n» означает, что результат этого действия равен $n$. Записываем итоговое равенство.
Ответ: $0.14m = n$

4) Рассмотрим фразу «квадрат суммы чисел a и b равен 25». «Сумма чисел a и b» — это результат сложения этих чисел, который записывается как $a+b$. «Квадрат суммы» означает, что всю сумму необходимо возвести во вторую степень. Для этого сумму заключают в скобки: $(a+b)^2$. Слово «равен» заменяется знаком «=». Соединяем все части и получаем итоговое уравнение.
Ответ: $(a+b)^2 = 25$

5.153. Если m, n, k и l – заданные числа, то следующие математические модели запишите словами:

1) $2m \cdot n = 5k;$

2) $m + l = n + k;$

3) $m : n = k : l$

4) $m - n = 3l;$

5) $0.12m = 2(k - n);$

6) $3m = 5k.$

1) В данной математической модели $2m \cdot n = 5k$ левая часть представляет собой произведение удвоенного числа $m$ и числа $n$. Правая часть представляет собой число $k$, умноженное на 5 (или упятеренное число $k$). Знак равенства указывает на то, что эти два выражения равны между собой.
Ответ: Произведение удвоенного числа $m$ и числа $n$ равно упятеренному числу $k$.

2) Модель $m + l = n + k$ описывает равенство двух сумм. В левой части находится сумма чисел $m$ и $l$, а в правой части — сумма чисел $n$ и $k$.
Ответ: Сумма чисел $m$ и $l$ равна сумме чисел $n$ и $k$.

3) Запись $m : n = k : l$ является пропорцией. Она утверждает, что отношение числа $m$ к числу $n$ равно отношению числа $k$ к числу $l$. Иными словами, во сколько раз число $m$ больше (или меньше) числа $n$, во столько же раз число $k$ больше (или меньше) числа $l$.
Ответ: Отношение числа $m$ к числу $n$ равно отношению числа $k$ к числу $l$.

4) В модели $m - n = 3l$ левая часть — это разность чисел $m$ и $n$. Правая часть — это утроенное число $l$ (результат умножения числа $l$ на 3).
Ответ: Разность чисел $m$ и $n$ равна утроенному числу $l$.

5) В выражении $0,12m = 2(k - n)$ левая часть, $0,12m$, означает двенадцать сотых от числа $m$ (что эквивалентно 12% от числа $m$). Правая часть, $2(k - n)$, означает удвоенную разность чисел $k$ и $n$.
Ответ: Двенадцать сотых числа $m$ равно удвоенной разности чисел $k$ и $n$.

6) Модель $3m = 5k$ показывает равенство двух произведений. В левой части находится утроенное число $m$, а в правой — упятеренное число $k$.
Ответ: Утроенное число $m$ равно упятеренному числу $k$.

5.154. Если a – количество мальчиков класса, а b – количество девочек этого класса, то следующие математические модели запишите словами:

1) $a < b$;

2) $a + 2 = b$;

3) $a = b$;

4) $a + 2 = b - 1$.

В этой задаче нам даны переменные: $a$ – количество мальчиков в классе, и $b$ – количество девочек в классе. Нам нужно описать словами, что означают предложенные математические модели (равенства и неравенства).

1) $a < b$

Это неравенство сравнивает количество мальчиков ($a$) и количество девочек ($b$). Знак «меньше» ($<$) указывает на то, что величина, стоящая слева от знака, меньше величины, стоящей справа. Таким образом, это выражение означает, что количество мальчиков в классе меньше, чем количество девочек.
Ответ: Количество мальчиков в классе меньше, чем количество девочек.

2) $a + 2 = b$

Это равенство устанавливает прямую зависимость между количеством мальчиков и девочек. Оно показывает, что если к количеству мальчиков ($a$) прибавить 2, то получится количество девочек ($b$). Другими словами, количество девочек на 2 больше, чем количество мальчиков.
Ответ: В классе девочек на 2 больше, чем мальчиков.

3) $a = b$

Это равенство означает, что количество мальчиков ($a$) в точности равно количеству девочек ($b$). То есть их в классе одинаковое число.
Ответ: В классе мальчиков и девочек поровну.

4) $a + 2 = b - 1$

Это равенство также описывает соотношение между числом мальчиков и девочек. Чтобы лучше понять его смысл, преобразуем уравнение. Мы можем выразить одну переменную через другую, например, найти $b$:
$b = a + 2 + 1$
$b = a + 3$
Из полученного выражения видно, что количество девочек на 3 больше, чем количество мальчиков. Также можно найти разницу между количеством девочек и мальчиков:
$b - a = 3$
Ответ: В классе девочек на 3 больше, чем мальчиков.

5.155. Если $p$ – количество тетрадей, $q$ – количество карандашей, то математическую модель запишите словами:

1) $30 \cdot p + 15q = 375$ тг;

2) $30p + 15 = 165$ тг.

В упражнениях 5.156–5.158 предложения запишите в виде математической модели.

В данной задаче переменная $p$ обозначает количество тетрадей, а переменная $q$ — количество карандашей. Валюта — тенге (тг). Нам нужно описать словами, что означают данные математические модели (уравнения).

1) $30 \cdot p + 15q = 375$ тг

Разберем данное уравнение. Выражение $30 \cdot p$ можно интерпретировать как общую стоимость всех купленных тетрадей. Из этого следует, что цена одной тетради составляет 30 тг, а $p$ — это их количество. Аналогично, выражение $15q$ — это общая стоимость всех карандашей, где цена одного карандаша составляет 15 тг, а $q$ — их количество. Сумма этих двух выражений, $30p + 15q$, представляет собой общую стоимость всей покупки, которая, согласно уравнению, равна 375 тг.

Ответ: Стоимость $p$ тетрадей по 30 тенге за штуку и $q$ карандашей по 15 тенге за штуку вместе составляет 375 тенге.

2) $30p + 15 = 165$ тг

Проанализируем вторую модель, используя информацию из первого пункта. Предположим, что цена тетради по-прежнему 30 тг, а цена карандаша — 15 тг. Тогда выражение $30p$ — это стоимость $p$ тетрадей. Слагаемое 15 является постоянной величиной (константой). В контексте задачи наиболее логичная интерпретация заключается в том, что был куплен ровно один карандаш (т.е. $q=1$), и 15 тг — это его стоимость. Таким образом, общая стоимость покупки, состоящей из $p$ тетрадей и одного карандаша, равна 165 тг.

Ответ: Стоимость $p$ тетрадей по 30 тенге за штуку и одного карандаша стоимостью 15 тенге вместе составляет 165 тенге.

5.156. 1) Значения выражений $3a + 14$ и $5a + 3$ равны.

2) Значение выражения $4m + 1$ на 5 больше значения выражения $2m - 1$.

3) Значение выражения $3b - 8$ равно половине значения выражения $6b - 1$.

1) Чтобы найти значение переменной a, при котором значения выражений $3a + 14$ и $5a + 3$ равны, нужно приравнять эти выражения и решить полученное уравнение.

Составим уравнение:
$3a + 14 = 5a + 3$

Перенесем слагаемые с переменной a в одну часть уравнения, а числа — в другую:
$14 - 3 = 5a - 3a$

Упростим обе части уравнения:
$11 = 2a$

Найдем a:
$a = \frac{11}{2}$
$a = 5.5$

Ответ: $a = 5.5$

2) По условию, значение выражения $4m + 1$ на 5 больше значения выражения $2m - 1$. Это можно записать в виде уравнения.

Составим уравнение:
$4m + 1 = (2m - 1) + 5$

Упростим правую часть уравнения:
$4m + 1 = 2m + 4$

Перенесем слагаемые с переменной m в левую часть, а числа — в правую:
$4m - 2m = 4 - 1$

Упростим обе части уравнения:
$2m = 3$

Найдем m:
$m = \frac{3}{2}$
$m = 1.5$

Ответ: $m = 1.5$

3) По условию, значение выражения $3b - 8$ равно половине значения выражения $6b - 1$. Запишем это в виде уравнения.

Составим уравнение:
$3b - 8 = \frac{1}{2}(6b - 1)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:
$3b - 8 = \frac{1}{2} \cdot 6b - \frac{1}{2} \cdot 1$
$3b - 8 = 3b - 0.5$

Перенесем слагаемые с переменной b в левую часть, а числа — в правую:
$3b - 3b = 8 - 0.5$

Упростим обе части уравнения:
$0 \cdot b = 7.5$
$0 = 7.5$

Полученное равенство является ложным, оно не зависит от значения переменной b. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: нет таких значений b.