Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.157. 1) Значение выражения $2 - 3x$ меньше 4;

2) значение выражения $2 - 3x$ больше 5;

3) значение выражения $2u - 1$ меньше соответствующих значений выражения $3u + 4$;

4) значение выражения $2u - 1$ больше соответствующих значений выражения $u - 5$.

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значение выражения $2 - 3x$ меньше 4, составим и решим неравенство:

$2 - 3x < 4$

Перенесем 2 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-3x < 4 - 2$

$-3x < 2$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{2}{-3}$

$x > -\frac{2}{3}$

Неравенство выполняется при всех значениях $x$, которые больше $-\frac{2}{3}$.

Ответ: $x > -\frac{2}{3}$

2) Чтобы найти значения $x$, при которых значение выражения $2 - 3x$ больше 5, составим и решим неравенство:

$2 - 3x > 5$

Перенесем 2 в правую часть неравенства:

$-3x > 5 - 2$

$-3x > 3$

Разделим обе части неравенства на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < \frac{3}{-3}$

$x < -1$

Неравенство выполняется при всех значениях $x$, которые меньше -1.

Ответ: $x < -1$

3) Чтобы найти значения $u$, при которых значение выражения $2u - 1$ меньше соответствующих значений выражения $3u + 4$, составим и решим неравенство:

$2u - 1 < 3u + 4$

Перенесем слагаемые с переменной $u$ в одну часть, а числовые слагаемые — в другую:

$2u - 3u < 4 + 1$

$-u < 5$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$u > -5$

Неравенство выполняется при всех значениях $u$, которые больше -5.

Ответ: $u > -5$

4) Чтобы найти значения $u$, при которых значение выражения $2u - 1$ больше соответствующих значений выражения $u - 5$, составим и решим неравенство:

$2u - 1 > u - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $u$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$2u - u > -5 + 1$

$u > -4$

Неравенство выполняется при всех значениях $u$, которые больше -4.

Ответ: $u > -4$

5.158. Алмас в магазине купил карандаши по 15 тг и тетради по 40 тг и за все заплатил 270 тг. Сколько карандашей и сколько тетрадей купил Алмас?

Пусть x — количество купленных карандашей, а y — количество купленных тетрадей.

Стоимость одного карандаша — 15 тг, а одной тетради — 40 тг. Общая стоимость покупки составляет 270 тг.

Мы можем составить следующее уравнение, исходя из условий задачи: $15x + 40y = 270$ где x и y должны быть целыми положительными числами, так как они представляют количество предметов.

Для упрощения уравнения разделим все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 5: $ (15x)/5 + (40y)/5 = 270/5 $ $ 3x + 8y = 54 $

Теперь нам нужно найти целые положительные решения этого уравнения. Для этого можно выразить одну переменную через другую. Например, выразим x: $ 3x = 54 - 8y $ $ x = (54 - 8y) / 3 $ $ x = 18 - (8y)/3 $

Поскольку x должно быть целым числом, выражение $(8y)/3$ также должно быть целым. Так как числа 8 и 3 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), это означает, что y должно быть кратно 3 (то есть делиться на 3 без остатка).

Также, так как количество карандашей x и тетрадей y должно быть положительным ($x > 0$ и $y > 0$), мы можем найти пределы для y: $x > 0 \implies 18 - (8y)/3 > 0 \implies 18 > (8y)/3 \implies 54 > 8y \implies y < 54/8 \implies y < 6.75$

Таким образом, мы ищем целые положительные значения для y, которые кратны 3 и меньше 6.75. Этим условиям удовлетворяют два числа: 3 и 6.

Рассмотрим оба возможных варианта:

Вариант 1: Если Алмас купил $y = 3$ тетради. Найдем соответствующее количество карандашей x: $x = 18 - (8 \cdot 3) / 3 = 18 - 8 = 10$ Проверим этот вариант: $15 \cdot 10 + 40 \cdot 3 = 150 + 120 = 270$ тг. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.

Вариант 2: Если Алмас купил $y = 6$ тетрадей. Найдем соответствующее количество карандашей x: $x = 18 - (8 \cdot 6) / 3 = 18 - 16 = 2$ Проверим этот вариант: $15 \cdot 2 + 40 \cdot 6 = 30 + 240 = 270$ тг. Этот вариант также удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Алмас купил 10 карандашей и 3 тетради, либо 2 карандаша и 6 тетрадей.

Решите упражнения 5.159–5.165 с помощью составления математической модели.

5.159. При каких значениях x:

1) значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше, чем значение дроби $\frac{2x+4}{9}$;

2) значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$?

1)

Согласно условию, значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше, чем значение дроби $\frac{2x+4}{9}$. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{x-4}{5} = \frac{2x+4}{9} + 9$

Для решения уравнения избавимся от знаменателей. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 9 равен 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$45 \cdot \frac{x-4}{5} = 45 \cdot \frac{2x+4}{9} + 45 \cdot 9$

Выполним сокращение:
$9(x-4) = 5(2x+4) + 405$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$9x - 36 = 10x + 20 + 405$

Приведем подобные слагаемые в правой части:
$9x - 36 = 10x + 425$

Сгруппируем слагаемые с переменной x в левой части, а свободные члены — в правой:
$9x - 10x = 425 + 36$
$-x = 461$

Найдем x, умножив обе части на -1:
$x = -461$

Ответ: $x = -461$.

2)

Согласно условию, значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$. Составим математическую модель этого утверждения:
$\frac{x+17}{5} = 3 \cdot \frac{x-5}{4}$

Запишем правую часть в виде одной дроби:
$\frac{x+17}{5} = \frac{3(x-5)}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4(x+17) = 5 \cdot 3(x-5)$

Раскроем скобки:
$4x + 68 = 15(x-5)$
$4x + 68 = 15x - 75$

Сгруппируем слагаемые с переменной x в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$68 + 75 = 15x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:
$143 = 11x$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 11:
$x = \frac{143}{11}$
$x = 13$

Ответ: $x = 13$.

5.160. 1) Если число $x$ уменьшить на 17%, то получим число, равное 20,75.

2) Если число $x$ увеличить на 27%, то получим число, равное 31,75.

1) Пусть искомое число равно $x$. Уменьшение числа на 17% означает, что от числа останется $100\% - 17\% = 83\%$. Чтобы найти $x$, нужно составить уравнение.
Переведем проценты в десятичную дробь: $83\% = 0,83$.
Уравнение будет выглядеть так:
$x \cdot (1 - 0,17) = 20,75$
$x \cdot 0,83 = 20,75$
Чтобы найти $x$, разделим результат на коэффициент:
$x = \frac{20,75}{0,83}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$x = \frac{2075}{83}$
$x = 25$
Ответ: 25.

2) Пусть искомое число равно $x$. Увеличение числа на 27% означает, что новое число составит $100\% + 27\% = 127\%$ от исходного.
Переведем проценты в десятичную дробь: $127\% = 1,27$.
Составим уравнение:
$x \cdot (1 + 0,27) = 31,75$
$x \cdot 1,27 = 31,75$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{31,75}{1,27}$
Умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от дробей:
$x = \frac{3175}{127}$
$x = 25$
Ответ: 25.

5.161. При каких значениях $x$:1) значение выражения $\frac{x-4}{5}$ меньше соответствующих значений выражения $\frac{2x+4}{9} + 9$;

2) значение выражения $\frac{x+17}{5}$ не больше соответствующих значений выражения $3 \cdot \frac{x-5}{4}$?

1) Чтобы найти значения $x$, при которых значение выражения $\frac{x-4}{5}$ меньше соответствующих значений выражения $\frac{2x+4}{9} + 9$, составим и решим неравенство:
$\frac{x-4}{5} < \frac{2x+4}{9} + 9$
Для избавления от дробей умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 9, то есть на 45.
$45 \cdot \frac{x-4}{5} < 45 \cdot (\frac{2x+4}{9} + 9)$
$9(x-4) < 5(2x+4) + 45 \cdot 9$
Раскроем скобки:
$9x - 36 < 10x + 20 + 405$
$9x - 36 < 10x + 425$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$-36 - 425 < 10x - 9x$
$-461 < x$
Или, что то же самое, $x > -461$.
Это можно записать в виде интервала: $x \in (-461; +\infty)$.
Ответ: $(-461; +\infty)$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых значение выражения $\frac{x+17}{5}$ не больше соответствующих значений выражения $3 - \frac{x-5}{4}$, составим и решим неравенство. Условие "не больше" означает "меньше или равно" ($\le$).
$\frac{x+17}{5} \le 3 - \frac{x-5}{4}$
Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20.
$20 \cdot \frac{x+17}{5} \le 20 \cdot (3 - \frac{x-5}{4})$
$4(x+17) \le 20 \cdot 3 - 20 \cdot \frac{x-5}{4}$
$4(x+17) \le 60 - 5(x-5)$
Раскроем скобки:
$4x + 68 \le 60 - 5x + 25$
$4x + 68 \le 85 - 5x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4x + 5x \le 85 - 68$
$9x \le 17$
Разделим обе части на 9:
$x \le \frac{17}{9}$
Это можно записать в виде интервала: $x \in (-\infty; \frac{17}{9}]$.
Ответ: $(-\infty; \frac{17}{9}]$.

5.162. Одно из чисел в 4 раза больше другого, а их сумма равна 60.

Найдите большее из этих чисел.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть меньшее число равно $x$.

Согласно условию, одно из чисел в 4 раза больше другого. Это значит, что большее число можно выразить как $4x$.

Также в условии сказано, что сумма этих двух чисел равна 60. Мы можем записать это в виде уравнения:

$x + 4x = 60$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив подобные члены:

$5x = 60$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{60}{5}$

$x = 12$

Мы нашли меньшее число, оно равно 12. В задаче требуется найти большее число. Большее число равно $4x$.

Подставим найденное значение $x$:

Большее число = $4 \times 12 = 48$

Проверим результат: сумма чисел $12 + 48 = 60$. Число 48 в 4 раза больше числа 12 ($12 \times 4 = 48$). Все условия задачи выполнены.

Ответ: 48

5.163. Одно из чисел в 3 раза больше другого, а их разность равна 40. Найдите меньшее из чисел.

Пусть меньшее из двух чисел равно $x$.

Согласно условию задачи, одно из чисел в 3 раза больше другого. Это означает, что большее число равно $3x$.

Также известно, что их разность равна 40. Разность — это результат вычитания меньшего числа из большего. Составим и решим уравнение:

$3x - x = 40$

Упростим левую часть уравнения:
$2x = 40$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{40}{2}$
$x = 20$

Поскольку за $x$ мы принимали меньшее число, мы нашли искомое значение. Меньшее число равно 20.

Для проверки найдем большее число: $3x = 3 \cdot 20 = 60$.
Их разность: $60 - 20 = 40$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 20

5.164. Папе 31 год, а сыну 5 лет. Через сколько лет возраст папы будет в 3 раза больше возраста сына?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество лет, через которое возраст папы будет в 3 раза больше возраста сына.

Текущий возраст папы — 31 год. Через $x$ лет ему будет $31 + x$ лет.

Текущий возраст сына — 5 лет. Через $x$ лет ему будет $5 + x$ лет.

Согласно условию задачи, возраст папы через $x$ лет будет в 3 раза больше возраста сына. Мы можем составить следующее уравнение:

$31 + x = 3 \cdot (5 + x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:
1. Раскроем скобки в правой части уравнения:
$31 + x = 15 + 3x$
2. Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Для этого вычтем $x$ и 15 из обеих частей уравнения:
$31 - 15 = 3x - x$
3. Упростим обе части:
$16 = 2x$
4. Найдем $x$, разделив обе части на 2:
$x = \frac{16}{2}$
$x = 8$

Таким образом, через 8 лет возраст папы будет в 3 раза больше возраста сына.

Проверим полученный результат:
Возраст папы через 8 лет: $31 + 8 = 39$ лет.
Возраст сына через 8 лет: $5 + 8 = 13$ лет.
Проверим соотношение их возрастов: $39 = 3 \cdot 13$. Равенство верно.

Ответ: через 8 лет.

5.165. Сначала участок земли, выделенный под дачу, был квадратной формы. Позднее в конце огорода к нему добавили участок земли шириной 10 м. Полученный прямоугольный участок обвели оградой из проволоки, состоящей из 3-х витков. Общая длина проволоки 420 м. Какова длина стороны выделенного участка первоначально?

Пусть $x$ — это длина стороны первоначального квадратного участка в метрах.

После того как к участку добавили полосу земли шириной 10 м, он стал прямоугольным. Его стороны стали равны $x$ м и $(x + 10)$ м.

Ограда вокруг нового прямоугольного участка состоит из 3-х витков проволоки, общая длина которой составляет 420 м. Чтобы найти периметр самого участка, нужно общую длину проволоки разделить на количество витков.

Периметр $P$ нового участка равен:
$P = \frac{420}{3} = 140$ м.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — его стороны. В нашем случае стороны равны $x$ и $(x+10)$. Составим и решим уравнение:
$2(x + (x + 10)) = 140$
$2(2x + 10) = 140$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2x + 10 = 70$
Перенесем 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 70 - 10$
$2x = 60$
Найдем $x$:
$x = \frac{60}{2}$
$x = 30$

Таким образом, длина стороны первоначального квадратного участка была 30 метров.

Ответ: 30 м.