Номер 5.158, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.158. Алмас в магазине купил карандаши по 15 тг и тетради по 40 тг и за все заплатил 270 тг. Сколько карандашей и сколько тетрадей купил Алмас?

Пусть x — количество купленных карандашей, а y — количество купленных тетрадей.

Стоимость одного карандаша — 15 тг, а одной тетради — 40 тг. Общая стоимость покупки составляет 270 тг.

Мы можем составить следующее уравнение, исходя из условий задачи: $15x + 40y = 270$ где x и y должны быть целыми положительными числами, так как они представляют количество предметов.

Для упрощения уравнения разделим все его члены на их наибольший общий делитель, который равен 5: $ (15x)/5 + (40y)/5 = 270/5 $ $ 3x + 8y = 54 $

Теперь нам нужно найти целые положительные решения этого уравнения. Для этого можно выразить одну переменную через другую. Например, выразим x: $ 3x = 54 - 8y $ $ x = (54 - 8y) / 3 $ $ x = 18 - (8y)/3 $

Поскольку x должно быть целым числом, выражение $(8y)/3$ также должно быть целым. Так как числа 8 и 3 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), это означает, что y должно быть кратно 3 (то есть делиться на 3 без остатка).

Также, так как количество карандашей x и тетрадей y должно быть положительным ($x > 0$ и $y > 0$), мы можем найти пределы для y: $x > 0 \implies 18 - (8y)/3 > 0 \implies 18 > (8y)/3 \implies 54 > 8y \implies y < 54/8 \implies y < 6.75$

Таким образом, мы ищем целые положительные значения для y, которые кратны 3 и меньше 6.75. Этим условиям удовлетворяют два числа: 3 и 6.

Рассмотрим оба возможных варианта:

Вариант 1: Если Алмас купил $y = 3$ тетради. Найдем соответствующее количество карандашей x: $x = 18 - (8 \cdot 3) / 3 = 18 - 8 = 10$ Проверим этот вариант: $15 \cdot 10 + 40 \cdot 3 = 150 + 120 = 270$ тг. Этот вариант удовлетворяет условиям задачи.

Вариант 2: Если Алмас купил $y = 6$ тетрадей. Найдем соответствующее количество карандашей x: $x = 18 - (8 \cdot 6) / 3 = 18 - 16 = 2$ Проверим этот вариант: $15 \cdot 2 + 40 \cdot 6 = 30 + 240 = 270$ тг. Этот вариант также удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: Алмас купил 10 карандашей и 3 тетради, либо 2 карандаша и 6 тетрадей.