Номер 5.159, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Решите упражнения 5.159–5.165 с помощью составления математической модели.

5.159. При каких значениях x:

1) значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше, чем значение дроби $\frac{2x+4}{9}$;

2) значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$?

1)

Согласно условию, значение дроби $\frac{x-4}{5}$ на 9 больше, чем значение дроби $\frac{2x+4}{9}$. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{x-4}{5} = \frac{2x+4}{9} + 9$

Для решения уравнения избавимся от знаменателей. Наименьший общий знаменатель для чисел 5 и 9 равен 45. Умножим обе части уравнения на 45:
$45 \cdot \frac{x-4}{5} = 45 \cdot \frac{2x+4}{9} + 45 \cdot 9$

Выполним сокращение:
$9(x-4) = 5(2x+4) + 405$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$9x - 36 = 10x + 20 + 405$

Приведем подобные слагаемые в правой части:
$9x - 36 = 10x + 425$

Сгруппируем слагаемые с переменной x в левой части, а свободные члены — в правой:
$9x - 10x = 425 + 36$
$-x = 461$

Найдем x, умножив обе части на -1:
$x = -461$

Ответ: $x = -461$.

2)

Согласно условию, значение дроби $\frac{x+17}{5}$ в 3 раза больше значения дроби $\frac{x-5}{4}$. Составим математическую модель этого утверждения:
$\frac{x+17}{5} = 3 \cdot \frac{x-5}{4}$

Запишем правую часть в виде одной дроби:
$\frac{x+17}{5} = \frac{3(x-5)}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$4(x+17) = 5 \cdot 3(x-5)$

Раскроем скобки:
$4x + 68 = 15(x-5)$
$4x + 68 = 15x - 75$

Сгруппируем слагаемые с переменной x в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$68 + 75 = 15x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:
$143 = 11x$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 11:
$x = \frac{143}{11}$
$x = 13$

Ответ: $x = 13$.