Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.131. Разложите на множители:

1) $a^2-b^2-a+b;$

2) $a^2-b^2-a+b;$

3) $x^3-x^2y-xy^2+y^3;$

4) $a^3+a^2b-ab^2-b^3;$

5) $m^2+2mn+n^2-mb-nb;$

6) $xc-yc-x^2+2xy-y^2.$

1) Для разложения на множители выражения $a^2-b^2-a+b$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$(a^2-b^2) + (-a+b)$

Первая скобка представляет собой формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Из второй скобки вынесем множитель -1: $-a+b = -(a-b)$.

Получим выражение:

$(a-b)(a+b) - (a-b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, который можно вынести за скобку:

$(a-b)((a+b)-1) = (a-b)(a+b-1)$

Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

2) Данное выражение $a^2-b^2-a+b$ полностью совпадает с выражением из предыдущего пункта. Решение аналогично.

Сгруппируем слагаемые: $(a^2-b^2) - (a-b)$.

Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) - (a-b)$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$: $(a-b)((a+b)-1) = (a-b)(a+b-1)$.

Ответ: $(a-b)(a+b-1)$

3) Для разложения на множители выражения $x^3-x^2y-xy^2+y^3$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^3-x^2y) + (-xy^2+y^3)$

В первой группе вынесем за скобки $x^2$, а во второй $-y^2$:

$x^2(x-y) - y^2(x-y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x-y)$:

$(x-y)(x^2-y^2)$

Выражение во второй скобке является разностью квадратов, которую также можно разложить на множители: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Окончательный вид:

$(x-y)(x-y)(x+y) = (x-y)^2(x+y)$

Ответ: $(x-y)^2(x+y)$

4) Для разложения на множители выражения $a^3+a^2b-ab^2-b^3$ сгруппируем слагаемые попарно:

$(a^3+a^2b) + (-ab^2-b^3)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой $a^2$, из второй $-b^2$:

$a^2(a+b) - b^2(a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)(a^2-b^2)$

Разложим разность квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Получаем: $(a+b)(a-b)(a+b) = (a+b)^2(a-b)$.

Ответ: $(a+b)^2(a-b)$

5) В выражении $m^2+2mn+n^2-mb-nb$ первые три слагаемых представляют собой формулу квадрата суммы.

Сгруппируем их: $(m^2+2mn+n^2) - (mb+nb)$.

Первая скобка сворачивается в $(m+n)^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель $b$: $b(m+n)$.

Выражение принимает вид:

$(m+n)^2 - b(m+n)$

Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:

$(m+n)((m+n)-b) = (m+n)(m+n-b)$

Ответ: $(m+n)(m+n-b)$

6) В выражении $xc-yc-x^2+2xy-y^2$ сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(xc-yc) + (-x^2+2xy-y^2)$

Из первой скобки вынесем общий множитель $c$. Из второй скобки вынесем -1, чтобы получить формулу квадрата разности:

$c(x-y) - (x^2-2xy+y^2)$

Выражение во второй скобке является полным квадратом: $(x-y)^2$.

Теперь выражение выглядит так:

$c(x-y) - (x-y)^2$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(c-(x-y)) = (x-y)(c-x+y)$

Ответ: $(x-y)(c-x+y)$

5.132. Представьте в виде произведения:

1) $(a-b)^3-3(a-b)^2$;

2) $(x+y)^3+2x(x+y)^2$;

3) $(m+n)^3-m^2-2mn-n^2$;

4) $x^2-4xy+4y^2-(x-2y)^3$.

1) Чтобы представить выражение $(a-b)^3-3(a-b)^2$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель. В данном случае общим множителем является $(a-b)^2$. Вынесем его за скобки:
$(a-b)^3-3(a-b)^2 = (a-b)^2 \cdot (a-b) - 3(a-b)^2 = (a-b)^2((a-b)-3)$.
Далее, упростим выражение во второй скобке:
$(a-b)-3 = a-b-3$.
Таким образом, окончательное выражение в виде произведения выглядит так: $(a-b)^2(a-b-3)$.
Ответ: $(a-b)^2(a-b-3)$.

2) В выражении $(x+y)^3+2x(x+y)^2$ общим множителем является $(x+y)^2$. Вынесем этот множитель за скобки:
$(x+y)^3+2x(x+y)^2 = (x+y)^2 \cdot (x+y) + 2x(x+y)^2 = (x+y)^2((x+y)+2x)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$x+y+2x = 3x+y$.
В результате получаем следующее произведение: $(x+y)^2(3x+y)$.
Ответ: $(x+y)^2(3x+y)$.

3) Рассмотрим выражение $(m+n)^3-m^2-2mn-n^2$. Заметим, что группа слагаемых $-m^2-2mn-n^2$ представляет собой полный квадрат суммы со знаком минус. Вынесем $-1$ за скобки:
$-(m^2+2mn+n^2)$.
Используя формулу квадрата суммы $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$, получаем: $-(m+n)^2$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде: $(m+n)^3-(m+n)^2$.
Вынесем общий множитель $(m+n)^2$ за скобки:
$(m+n)^2((m+n)-1) = (m+n)^2(m+n-1)$.
Ответ: $(m+n)^2(m+n-1)$.

4) Рассмотрим выражение $x^2-4xy+4y^2-(x-2y)^3$. Первые три слагаемых $x^2-4xy+4y^2$ образуют полный квадрат разности.
Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a=x$ и $b=2y$:
$x^2-2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Подставим полученное выражение в исходное: $(x-2y)^2-(x-2y)^3$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x-2y)^2$:
$(x-2y)^2(1-(x-2y))$.
Раскроем внутренние скобки во втором множителе:
$1-x+2y$.
Итоговое выражение в виде произведения: $(x-2y)^2(1-x+2y)$.
Ответ: $(x-2y)^2(1-x+2y)$.

5.133. Докажите, что выражение принимает лишь положительное значение:

1) $a^2+2a+2;$
2) $x^2+y^2-2xy+4;$
3) $4m^2-4m+4;$
4) $a^2+b^2+c^2-2bc+3.$

1) a²+2a+2;
Для доказательства того, что выражение принимает лишь положительные значения, преобразуем его, выделив полный квадрат. Мы знаем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
В выражении $a^2+2a+2$ можно заметить часть формулы квадрата суммы: $a^2+2a$. Представим число 2 как $1+1$.
$a^2+2a+2 = (a^2+2a+1) + 1$
Теперь выражение в скобках является полным квадратом для $(a+1)$:
$(a^2+2a+1) + 1 = (a+1)^2 + 1$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a+1)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(a+1)^2+1$ достигается при $(a+1)^2 = 0$ и равно $0+1=1$.
Поскольку $1 > 0$, то и все выражение $a^2+2a+2$ всегда будет принимать положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(a+1)^2+1$. Так как $(a+1)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 1, следовательно, оно всегда положительно.

2) x²+y²-2xy+4;
Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат. Мы знаем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Перегруппируем члены в исходном выражении:
$x^2+y^2-2xy+4 = (x^2-2xy+y^2) + 4$
Выражение в скобках является полным квадратом разности $x$ и $y$:
$(x^2-2xy+y^2) + 4 = (x-y)^2 + 4$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x-y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$.
Таким образом, наименьшее значение выражения $(x-y)^2+4$ достигается при $(x-y)^2 = 0$ и равно $0+4=4$.
Поскольку $4 > 0$, то и все выражение $x^2+y^2-2xy+4$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(x-y)^2+4$. Так как $(x-y)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 4, следовательно, оно всегда положительно.

3) 4m²-4m+4;
Преобразуем выражение, выделив полный квадрат. Заметим, что $4m^2 = (2m)^2$.
$4m^2-4m+4 = (2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot 1 + 4$
Для полного квадрата $(2m-1)^2$ нам нужен член $+1$. Представим 4 как $1+3$.
$(2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot 1 + 1 + 3 = (4m^2-4m+1) + 3$
Выражение в скобках является полным квадратом для $(2m-1)$:
$(4m^2-4m+1) + 3 = (2m-1)^2 + 3$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(2m-1)^2 \ge 0$ для любого значения $m$.
Следовательно, наименьшее значение выражения $(2m-1)^2+3$ равно $0+3=3$.
Поскольку $3 > 0$, то и все выражение $4m^2-4m+4$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $(2m-1)^2+3$. Так как $(2m-1)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 3, следовательно, оно всегда положительно.

4) a²+b²+c²-2bc+3.
Сгруппируем члены, чтобы выделить полный квадрат. Заметим, что члены $b^2+c^2-2bc$ образуют формулу квадрата разности.
$a^2 + (b^2-2bc+c^2) + 3$
Выражение в скобках является полным квадратом для $(b-c)$:
$a^2 + (b-c)^2 + 3$
Полученное выражение является суммой двух квадратов ($a^2$ и $(b-c)^2$) и положительного числа 3.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $a^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$ для любых значений $a$, $b$ и $c$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $a^2+(b-c)^2 \ge 0$.
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $a^2+(b-c)^2+3$ равно $0+3=3$.
Поскольку $3 > 0$, то и все выражение $a^2+b^2+c^2-2bc+3$ всегда принимает положительные значения.
Ответ: Выражение можно представить в виде $a^2+(b-c)^2+3$. Так как $a^2 \ge 0$ и $(b-c)^2 \ge 0$, то всё выражение всегда больше или равно 3, следовательно, оно всегда положительно.

5.134. Докажите, что выражение $4x-4x^2-2$ может принимать лишь отрицательные значения.

Чтобы доказать, что выражение $4x - 4x^2 - 2$ принимает лишь отрицательные значения, преобразуем его методом выделения полного квадрата. Этот метод позволяет наглядно показать, какой знак имеет выражение при любом значении переменной $x$.

1. Перепишем выражение, расположив члены в стандартном порядке для квадратного трехчлена:

$4x - 4x^2 - 2 = -4x^2 + 4x - 2$

2. Вынесем за скобки коэффициент при $x^2$, то есть $-4$:

$-4(x^2 - x) - 2$

3. Выделим полный квадрат в скобках. Для этого дополним выражение $x^2 - x$ до квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Сравнивая $x^2 - x$ с $x^2 - 2ax$, видим, что $2a=1$, то есть $a=1/2$. Значит, нужно добавить и отнять $a^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:

$-4(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - 2$

4. Теперь сгруппируем члены, образующие полный квадрат:

$-4\left( (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) - 2$

5. Раскроем скобки:

$-4(x - \frac{1}{2})^2 + (-4)(-\frac{1}{4}) - 2$

$-4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 - 2$

$-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$

6. Проанализируем полученное выражение $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$.

Выражение в скобках $(x - \frac{1}{2})^2$ является квадратом действительного числа, а значит, оно всегда неотрицательно, то есть $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, выражение $-4(x - \frac{1}{2})^2$ всегда неположительно (меньше или равно нулю): $-4(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$.

Если из неположительного числа вычесть 1, результат всегда будет меньше или равен $-1$:

$-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$

Таким образом, мы показали, что исходное выражение $4x - 4x^2 - 2$ для любого значения $x$ принимает значение, которое меньше или равно $-1$. А любое число, меньшее или равное $-1$, является отрицательным.

Ответ: Выражение $4x - 4x^2 - 2$ тождественно равно выражению $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1$. Так как $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$ при любом $x$, то $-4(x - \frac{1}{2})^2 \le 0$. Отсюда следует, что $-4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 \le -1$. Это доказывает, что данное выражение принимает только отрицательные значения. Что и требовалось доказать.

5.135. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=a^4-b^4$;

2) $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)=a^8-b^8$.

1) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
Левая часть тождества: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Сначала перемножим первые два множителя:
$(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в левую часть:
$(a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Снова применим формулу разности квадратов, где $x=a^2$ и $y=b^2$:
$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.
В результате преобразований левая часть тождества стала равна его правой части: $a^4-b^4 = a^4-b^4$. Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства этого тождества также преобразуем его левую часть, последовательно применяя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$. Для удобства начнем преобразования с последних множителей.
Левая часть тождества: $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$.
1. Перемножим последние два множителя: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
После этого шага выражение принимает вид: $(a^4+b^4)(a^2+b^2)(a^2-b^2)$.
2. Теперь перемножим два новых последних множителя: $(a^2+b^2)(a^2-b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4-b^4$.
Выражение теперь выглядит так: $(a^4+b^4)(a^4-b^4)$.
3. В последний раз применяем формулу разности квадратов: $(a^4+b^4)(a^4-b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8-b^8$.
Таким образом, левая часть тождества после всех преобразований стала равна его правой части: $a^8-b^8 = a^8-b^8$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

5.136. Разложите на множители:

1) $25x^2-(x+y)^2$;

2) $100-(3a+7y)^2$;

3) $1-(a^2+b^2)^2$;

4) $m^6n^2-(m-n)^2$;

5) $x^4y^2-(a^2-b^2)^2$;

6) $9x^2y^4-(a-b)^2$.

1)

Для разложения выражения $25x^2-(x+y)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В данном выражении $25x^2$ можно представить как $(5x)^2$. Таким образом, получаем $A = 5x$ и $B = x+y$.
Подставляем значения в формулу:
$25x^2 - (x+y)^2 = (5x)^2 - (x+y)^2 = (5x - (x+y))(5x + (x+y))$.
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(5x - x - y)(5x + x + y) = (4x - y)(6x + y)$.

Ответ: $(4x - y)(6x + y)$

2)

Для разложения выражения $100-(3a+7y)^2$ применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Здесь $100 = 10^2$, следовательно, $A = 10$ и $B = 3a+7y$.
Подставляем в формулу:
$100 - (3a+7y)^2 = 10^2 - (3a+7y)^2 = (10 - (3a+7y))(10 + (3a+7y))$.
Раскроем внутренние скобки:
$(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$.

Ответ: $(10 - 3a - 7y)(10 + 3a + 7y)$

3)

В выражении $1-(a^2+b^2)^2$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В этом выражении $1 = 1^2$, значит $A = 1$ и $B = a^2+b^2$.
Подставляем в формулу:
$1^2 - (a^2+b^2)^2 = (1 - (a^2+b^2))(1 + (a^2+b^2))$.
Упрощаем, раскрывая скобки внутри множителей:
$(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$.

Ответ: $(1 - a^2 - b^2)(1 + a^2 + b^2)$

4)

В выражении $m^6n^2-(m-n)^2$ применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Представим $m^6n^2$ как $(m^3n)^2$. Тогда $A = m^3n$ и $B = m-n$.
Подставляем в формулу:
$(m^3n)^2 - (m-n)^2 = (m^3n - (m-n))(m^3n + (m-n))$.
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$.

Ответ: $(m^3n - m + n)(m^3n + m - n)$

5)

Для разложения выражения $x^4y^2-(a^2-b^2)^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
В данном случае $x^4y^2 = (x^2y)^2$. Таким образом, $A = x^2y$ и $B = a^2-b^2$.
Подставляем в формулу:
$(x^2y)^2 - (a^2-b^2)^2 = (x^2y - (a^2-b^2))(x^2y + (a^2-b^2))$.
Упростим выражения в скобках:
$(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$.

Ответ: $(x^2y - a^2 + b^2)(x^2y + a^2 - b^2)$

6)

В выражении $9x^2y^4-(a-b)^2$ снова используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Здесь $9x^2y^4 = (3xy^2)^2$. Значит, $A = 3xy^2$ и $B = a-b$.
Подставляем в формулу:
$(3xy^2)^2 - (a-b)^2 = (3xy^2 - (a-b))(3xy^2 + (a-b))$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$.

Ответ: $(3xy^2 - a + b)(3xy^2 + a - b)$

5.137. Представьте в виде произведения:

1) $(a+2b)^2-(3c+4d)^2$;

2) $(x-y)^2-(m+n)^2$;

3) $(m-2n)^2-(2p-3q)^2$;

4) $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2$;

5) $9(m+n)^2-(m-n)^2$;

6) $4(a-b)^2-(a+b)^2$;

7) $16(a+b)^2-9(x+y)^2$;

8) $9(a-b)^2-4(x-y)^2$.

Для решения всех задач используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1) В выражении $(a+2b)^2-(3c+4d)^2$ имеем разность квадратов, где $A = a+2b$ и $B = 3c+4d$.

Применяем формулу:

$(a+2b)^2 - (3c+4d)^2 = ((a+2b) - (3c+4d))((a+2b) + (3c+4d))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$

Ответ: $(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$.

2) Для выражения $(x-y)^2-(m+n)^2$ используем ту же формулу, где $A = x-y$ и $B = m+n$.

$(x-y)^2 - (m+n)^2 = ((x-y) - (m+n))((x-y) + (m+n))$

Раскрываем внутренние скобки:

$(x-y-m-n)(x-y+m+n)$

Ответ: $(x-y-m-n)(x-y+m+n)$.

3) В выражении $(m-2n)^2-(2p-3q)^2$ принимаем $A = m-2n$ и $B = 2p-3q$.

$(m-2n)^2 - (2p-3q)^2 = ((m-2n) - (2p-3q))((m-2n) + (2p-3q))$

Раскрываем скобки, обращая внимание на знаки:

$(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$

Ответ: $(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$.

4) В выражении $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2$ имеем $A = 2a-3c$ и $B = 4b+5d$.

$(2a-3c)^2 - (4b+5d)^2 = ((2a-3c) - (4b+5d))((2a-3c) + (4b+5d))$

Раскрываем скобки:

$(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$

Ответ: $(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$.

5) Сначала преобразуем выражение $9(m+n)^2-(m-n)^2$. Заметим, что $9=3^2$.

$9(m+n)^2 = (3(m+n))^2 = (3m+3n)^2$.

Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(3m+3n)^2 - (m-n)^2$.

Применим формулу, где $A = 3m+3n$ и $B = m-n$.

$((3m+3n)-(m-n))((3m+3n)+(m-n))$

Упростим каждый множитель:

$(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n) = (2m+4n)(4m+2n)$

Вынесем общий множитель 2 из каждой скобки:

$2(m+2n) \cdot 2(2m+n) = 4(m+2n)(2m+n)$

Ответ: $4(m+2n)(2m+n)$.

6) Преобразуем выражение $4(a-b)^2-(a+b)^2$, учитывая, что $4=2^2$.

$4(a-b)^2 = (2(a-b))^2 = (2a-2b)^2$.

Получаем разность квадратов: $(2a-2b)^2 - (a+b)^2$.

Здесь $A = 2a-2b$ и $B = a+b$.

$((2a-2b)-(a+b))((2a-2b)+(a+b))$

Упрощаем выражения в скобках:

$(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b) = (a-3b)(3a-b)$

Ответ: $(a-3b)(3a-b)$.

7) В выражении $16(a+b)^2-9(x+y)^2$ преобразуем оба члена, так как $16=4^2$ и $9=3^2$.

$16(a+b)^2 = (4(a+b))^2 = (4a+4b)^2$

$9(x+y)^2 = (3(x+y))^2 = (3x+3y)^2$

Получаем разность квадратов: $(4a+4b)^2 - (3x+3y)^2$.

Применяем формулу, где $A = 4a+4b$ и $B = 3x+3y$.

$((4a+4b)-(3x+3y))((4a+4b)+(3x+3y))$

Раскрываем внутренние скобки:

$(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$

Ответ: $(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$.

8) Преобразуем выражение $9(a-b)^2-4(x-y)^2$, используя $9=3^2$ и $4=2^2$.

$9(a-b)^2 = (3(a-b))^2 = (3a-3b)^2$

$4(x-y)^2 = (2(x-y))^2 = (2x-2y)^2$

Получаем выражение: $(3a-3b)^2 - (2x-2y)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $A = 3a-3b$ и $B = 2x-2y$.

$((3a-3b)-(2x-2y))((3a-3b)+(2x-2y))$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$

Ответ: $(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$.

5.138. Разложите на множители:

1) $a^4-b^4$;

2) $a^6-b^6$;

3) $a^8-b^8$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $(a+b)^3-(a-b)^3$;

6) $(a+b)^4-(a-b)^4$.

1) $a^4-b^4$;
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Представим выражение в виде $(a^2)^2 - (b^2)^2$.
$a^4-b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Первый множитель $a^2-b^2$ также является разностью квадратов, поэтому раскладываем его дальше: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Окончательное разложение:
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$

2) $a^6-b^6$;
Это выражение можно разложить, представив его как разность квадратов: $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
$a^6-b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3-b^3)(a^3+b^3)$.
Теперь используем формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Для первого множителя: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Для второго множителя: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Собираем все вместе:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

3) $a^8-b^8$;
Применяем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ последовательно.
$a^8-b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4-b^4)(a^4+b^4)$.
Множитель $a^4-b^4$ мы уже раскладывали в первом пункте: $a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Множитель $a^4+b^4$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, поэтому оставляем его как есть.
Собираем все вместе:
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

4) $a^4+a^3+a+1$;
Используем метод группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^4+a^3) + (a+1)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$a^3(a+1) + 1(a+1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:
$(a+1)(a^3+1)$.
Выражение $a^3+1$ является суммой кубов. Раскладываем его по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+1^3 = (a+1)(a^2-a \cdot 1+1^2) = (a+1)(a^2-a+1)$.
Подставляем это в наше выражение:
$(a+1)(a+1)(a^2-a+1) = (a+1)^2(a^2-a+1)$.
Ответ: $(a+1)^2(a^2-a+1)$

5) $(a+b)^3-(a-b)^3$;
Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a+b$ и $y=a-b$.
Найдем первый множитель $(x-y)$:
$x-y = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b$.
Найдем второй множитель $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$y^2 = (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$xy = (a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Сложим эти три выражения:
$x^2+xy+y^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = (a^2+a^2+a^2) + (2ab-2ab) + (b^2-b^2+b^2) = 3a^2+b^2$.
Перемножим полученные множители:
$2b(3a^2+b^2)$.
Ответ: $2b(3a^2+b^2)$

6) $(a+b)^4-(a-b)^4$;
Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=(a+b)^2$ и $y=(a-b)^2$.
Выражение можно записать как $((a+b)^2)^2 - ((a-b)^2)^2$.
$((a+b)^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 + (a-b)^2)$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(a+b)^2 - (a-b)^2$.
Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 = 4ab$.
Второй множитель: $(a+b)^2 + (a-b)^2$.
Раскроем скобки: $(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)$.
Перемножим полученные выражения для множителей:
$(4ab)(2(a^2+b^2)) = 8ab(a^2+b^2)$.
Ответ: $8ab(a^2+b^2)$

5.139. Представьте в виде произведения:

1) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx;$

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx.$

1) $ax^2+bx^2+ax-cx^2+bx-cx$

Для того чтобы представить многочлен в виде произведения, сгруппируем его члены. Удобнее всего группировать слагаемые с одинаковыми степенями переменной $x$.

Сгруппируем члены с $x^2$ и члены с $x$:

$(ax^2+bx^2-cx^2) + (ax+bx-cx)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$, а во второй группе — общий множитель $x$:

$x^2(a+b-c) + x(a+b-c)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a+b-c)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2+x)(a+b-c)$

В первом множителе $(x^2+x)$ можно также вынести за скобки общий множитель $x$:

$x(x+1)(a+b-c)$

Таким образом, мы представили исходный многочлен в виде произведения трех множителей.

Ответ: $x(x+1)(a+b-c)$

2) $ax^2+bx^2-bx-ax+cx^2-cx$

Аналогично первому пункту, сгруппируем члены многочлена по степеням переменной $x$. Сначала переупорядочим слагаемые для удобства.

$ax^2+bx^2+cx^2-ax-bx-cx$

Сгруппируем члены с $x^2$ и члены с $x$:

$(ax^2+bx^2+cx^2) + (-ax-bx-cx)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-x$:

$x^2(a+b+c) - x(a+b+c)$

Теперь у обоих слагаемых есть общий множитель $(a+b+c)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2-x)(a+b+c)$

В первом множителе $(x^2-x)$ вынесем за скобки общий множитель $x$:

$x(x-1)(a+b+c)$

Исходный многочлен представлен в виде произведения.

Ответ: $x(x-1)(a+b+c)$