Номер 5.137, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.137. Представьте в виде произведения:

1) $(a+2b)^2-(3c+4d)^2$;

2) $(x-y)^2-(m+n)^2$;

3) $(m-2n)^2-(2p-3q)^2$;

4) $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2$;

5) $9(m+n)^2-(m-n)^2$;

6) $4(a-b)^2-(a+b)^2$;

7) $16(a+b)^2-9(x+y)^2$;

8) $9(a-b)^2-4(x-y)^2$.

Для решения всех задач используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

1) В выражении $(a+2b)^2-(3c+4d)^2$ имеем разность квадратов, где $A = a+2b$ и $B = 3c+4d$.

Применяем формулу:

$(a+2b)^2 - (3c+4d)^2 = ((a+2b) - (3c+4d))((a+2b) + (3c+4d))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$

Ответ: $(a+2b-3c-4d)(a+2b+3c+4d)$.

2) Для выражения $(x-y)^2-(m+n)^2$ используем ту же формулу, где $A = x-y$ и $B = m+n$.

$(x-y)^2 - (m+n)^2 = ((x-y) - (m+n))((x-y) + (m+n))$

Раскрываем внутренние скобки:

$(x-y-m-n)(x-y+m+n)$

Ответ: $(x-y-m-n)(x-y+m+n)$.

3) В выражении $(m-2n)^2-(2p-3q)^2$ принимаем $A = m-2n$ и $B = 2p-3q$.

$(m-2n)^2 - (2p-3q)^2 = ((m-2n) - (2p-3q))((m-2n) + (2p-3q))$

Раскрываем скобки, обращая внимание на знаки:

$(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$

Ответ: $(m-2n-2p+3q)(m-2n+2p-3q)$.

4) В выражении $(2a-3c)^2-(4b+5d)^2$ имеем $A = 2a-3c$ и $B = 4b+5d$.

$(2a-3c)^2 - (4b+5d)^2 = ((2a-3c) - (4b+5d))((2a-3c) + (4b+5d))$

Раскрываем скобки:

$(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$

Ответ: $(2a-3c-4b-5d)(2a-3c+4b+5d)$.

5) Сначала преобразуем выражение $9(m+n)^2-(m-n)^2$. Заметим, что $9=3^2$.

$9(m+n)^2 = (3(m+n))^2 = (3m+3n)^2$.

Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(3m+3n)^2 - (m-n)^2$.

Применим формулу, где $A = 3m+3n$ и $B = m-n$.

$((3m+3n)-(m-n))((3m+3n)+(m-n))$

Упростим каждый множитель:

$(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n) = (2m+4n)(4m+2n)$

Вынесем общий множитель 2 из каждой скобки:

$2(m+2n) \cdot 2(2m+n) = 4(m+2n)(2m+n)$

Ответ: $4(m+2n)(2m+n)$.

6) Преобразуем выражение $4(a-b)^2-(a+b)^2$, учитывая, что $4=2^2$.

$4(a-b)^2 = (2(a-b))^2 = (2a-2b)^2$.

Получаем разность квадратов: $(2a-2b)^2 - (a+b)^2$.

Здесь $A = 2a-2b$ и $B = a+b$.

$((2a-2b)-(a+b))((2a-2b)+(a+b))$

Упрощаем выражения в скобках:

$(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b) = (a-3b)(3a-b)$

Ответ: $(a-3b)(3a-b)$.

7) В выражении $16(a+b)^2-9(x+y)^2$ преобразуем оба члена, так как $16=4^2$ и $9=3^2$.

$16(a+b)^2 = (4(a+b))^2 = (4a+4b)^2$

$9(x+y)^2 = (3(x+y))^2 = (3x+3y)^2$

Получаем разность квадратов: $(4a+4b)^2 - (3x+3y)^2$.

Применяем формулу, где $A = 4a+4b$ и $B = 3x+3y$.

$((4a+4b)-(3x+3y))((4a+4b)+(3x+3y))$

Раскрываем внутренние скобки:

$(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$

Ответ: $(4a+4b-3x-3y)(4a+4b+3x+3y)$.

8) Преобразуем выражение $9(a-b)^2-4(x-y)^2$, используя $9=3^2$ и $4=2^2$.

$9(a-b)^2 = (3(a-b))^2 = (3a-3b)^2$

$4(x-y)^2 = (2(x-y))^2 = (2x-2y)^2$

Получаем выражение: $(3a-3b)^2 - (2x-2y)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $A = 3a-3b$ и $B = 2x-2y$.

$((3a-3b)-(2x-2y))((3a-3b)+(2x-2y))$

Раскрываем скобки и упрощаем:

$(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$

Ответ: $(3a-3b-2x+2y)(3a-3b+2x-2y)$.