Номер 5.138, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.138. Разложите на множители:

1) $a^4-b^4$;

2) $a^6-b^6$;

3) $a^8-b^8$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $(a+b)^3-(a-b)^3$;

6) $(a+b)^4-(a-b)^4$.

1) $a^4-b^4$;
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Представим выражение в виде $(a^2)^2 - (b^2)^2$.
$a^4-b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Первый множитель $a^2-b^2$ также является разностью квадратов, поэтому раскладываем его дальше: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Окончательное разложение:
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$

2) $a^6-b^6$;
Это выражение можно разложить, представив его как разность квадратов: $(a^3)^2 - (b^3)^2$.
$a^6-b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3-b^3)(a^3+b^3)$.
Теперь используем формулы разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$ и суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Для первого множителя: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Для второго множителя: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Собираем все вместе:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$

3) $a^8-b^8$;
Применяем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ последовательно.
$a^8-b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4-b^4)(a^4+b^4)$.
Множитель $a^4-b^4$ мы уже раскладывали в первом пункте: $a^4-b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Множитель $a^4+b^4$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами, поэтому оставляем его как есть.
Собираем все вместе:
$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.
Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

4) $a^4+a^3+a+1$;
Используем метод группировки слагаемых.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(a^4+a^3) + (a+1)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$a^3(a+1) + 1(a+1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:
$(a+1)(a^3+1)$.
Выражение $a^3+1$ является суммой кубов. Раскладываем его по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3+1^3 = (a+1)(a^2-a \cdot 1+1^2) = (a+1)(a^2-a+1)$.
Подставляем это в наше выражение:
$(a+1)(a+1)(a^2-a+1) = (a+1)^2(a^2-a+1)$.
Ответ: $(a+1)^2(a^2-a+1)$

5) $(a+b)^3-(a-b)^3$;
Используем формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a+b$ и $y=a-b$.
Найдем первый множитель $(x-y)$:
$x-y = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b$.
Найдем второй множитель $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
$y^2 = (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
$xy = (a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Сложим эти три выражения:
$x^2+xy+y^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = (a^2+a^2+a^2) + (2ab-2ab) + (b^2-b^2+b^2) = 3a^2+b^2$.
Перемножим полученные множители:
$2b(3a^2+b^2)$.
Ответ: $2b(3a^2+b^2)$

6) $(a+b)^4-(a-b)^4$;
Используем формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=(a+b)^2$ и $y=(a-b)^2$.
Выражение можно записать как $((a+b)^2)^2 - ((a-b)^2)^2$.
$((a+b)^2 - (a-b)^2)((a+b)^2 + (a-b)^2)$.
Рассмотрим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $(a+b)^2 - (a-b)^2$.
Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 = 4ab$.
Второй множитель: $(a+b)^2 + (a-b)^2$.
Раскроем скобки: $(a^2+2ab+b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 2a^2+2b^2 = 2(a^2+b^2)$.
Перемножим полученные выражения для множителей:
$(4ab)(2(a^2+b^2)) = 8ab(a^2+b^2)$.
Ответ: $8ab(a^2+b^2)$