Номер 5.141, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.141. Представьте в виде произведения:

1) $m^3-m^2n-mn^2+n^3$;

2) $x^5-x^3+x^2-1$;

3) $x^4+x^3-x-1$;

4) $a^4+a^3+a+1$;

5) $m^6-m^4+2m^3+2m^2$;

6) $b^3-8+6b^2-12b$.

1) $m^3-m^2n-mn^2+n^3$
Для разложения на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3)$
Вынесем общие множители из каждой скобки:
$m^2(m - n) - n^2(m - n)$
Теперь вынесем общий множитель $(m - n)$:
$(m - n)(m^2 - n^2)$
Второй множитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(m - n)(m - n)(m + n) = (m - n)^2(m + n)$
Ответ: $(m - n)^2(m + n)$

2) $x^5-x^3+x^2-1$
Сгруппируем слагаемые: $(x^5 - x^3) + (x^2 - 1)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^3(x^2 - 1) + 1(x^2 - 1)$
Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$:
$(x^2 - 1)(x^3 + 1)$
Оба множителя можно разложить дальше, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ и формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(x - 1)(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)$
Запишем итоговый результат, объединив одинаковые множители:
$(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$
Ответ: $(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$

3) $x^4+x^3-x-1$
Сгруппируем слагаемые: $(x^4 + x^3) - (x + 1)$.
Вынесем общие множители:
$x^3(x + 1) - 1(x + 1)$
Вынесем общий множитель $(x + 1)$:
$(x + 1)(x^3 - 1)$
Второй множитель является разностью кубов, которую разложим по формуле $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$
Ответ: $(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$

4) $a^4+a^3+a+1$
Сгруппируем слагаемые: $(a^4 + a^3) + (a + 1)$.
Вынесем общие множители:
$a^3(a + 1) + 1(a + 1)$
Вынесем общий множитель $(a + 1)$:
$(a + 1)(a^3 + 1)$
Второй множитель является суммой кубов, которую разложим по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$(a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1)$
Ответ: $(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$

5) $m^6-m^4+2m^3+2m^2$
Вынесем за скобки общий множитель $m^2$:
$m^2(m^4 - m^2 + 2m + 2)$
Разложим на множители выражение в скобках $m^4 - m^2 + 2m + 2$. Сгруппируем слагаемые: $(m^4-m^2) + (2m+2)$.
$m^2(m^2-1) + 2(m+1) = m^2(m-1)(m+1) + 2(m+1)$
Вынесем общий множитель $(m+1)$:
$(m+1)[m^2(m-1)+2] = (m+1)(m^3-m^2+2)$
Теперь разложим на множители кубический многочлен $m^3-m^2+2$. Можно заметить, что $m = -1$ является корнем, так как $(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Значит, $(m+1)$ — один из множителей. Разделим $m^3-m^2+2$ на $(m+1)$ с помощью группировки:
$m^3 - m^2 + 2 = m^3 + m^2 - 2m^2 - 2m + 2m + 2 = m^2(m+1) - 2m(m+1) + 2(m+1) = (m+1)(m^2-2m+2)$
Квадратный трехчлен $m^2-2m+2$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, так как его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$.
Соберем все множители вместе:
$m^2(m+1)(m+1)(m^2-2m+2) = m^2(m+1)^2(m^2-2m+2)$
Ответ: $m^2(m+1)^2(m^2-2m+2)$

6) $b^3-8+6b^2-12b$
Перегруппируем слагаемые для удобства:
$(b^3 - 8) + (6b^2 - 12b)$
Первая скобка — это разность кубов $b^3 - 2^3$, а из второй можно вынести общий множитель $6b$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(b - 2)(b^2 + 2b + 4) + 6b(b - 2)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(b - 2)$:
$(b - 2)[(b^2 + 2b + 4) + 6b]$
Упростим выражение во второй скобке:
$(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$
Ответ: $(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$