Страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.104. Выполните возведение в степень:

1) $(a+2b)^3;$

2) $(x-3y)^3;$

3) $(2m-3n)^3;$

4) $(4x + \frac{1}{3}y)^3;$

5) $(\frac{2}{3}a - 3b)^3;$

6) $(\frac{1}{3}p + \frac{1}{2}q)^3.$

1) Для возведения в куб выражения $(a+2b)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=a$ и $Y=2b$.
$(a+2b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 + (2b)^3 = a^3 + 6a^2b + 3a(4b^2) + 8b^3 = a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.
Ответ: $a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3$.

2) Для возведения в куб выражения $(x-3y)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=x$ и $Y=3y$.
$(x-3y)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot (3y) + 3 \cdot x \cdot (3y)^2 - (3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 3x(9y^2) - 27y^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$.
Ответ: $x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$.

3) Для возведения в куб выражения $(2m-3n)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=2m$ и $Y=3n$.
$(2m-3n)^3 = (2m)^3 - 3 \cdot (2m)^2 \cdot (3n) + 3 \cdot (2m) \cdot (3n)^2 - (3n)^3 = 8m^3 - 3 \cdot (4m^2) \cdot (3n) + 6m \cdot (9n^2) - 27n^3 = 8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$.
Ответ: $8m^3 - 36m^2n + 54mn^2 - 27n^3$.

4) Для возведения в куб выражения $(4x+\frac{1}{3}y)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=4x$ и $Y=\frac{1}{3}y$.
$(4x+\frac{1}{3}y)^3 = (4x)^3 + 3 \cdot (4x)^2 \cdot (\frac{1}{3}y) + 3 \cdot (4x) \cdot (\frac{1}{3}y)^2 + (\frac{1}{3}y)^3 = 64x^3 + 3 \cdot 16x^2 \cdot \frac{1}{3}y + 12x \cdot \frac{1}{9}y^2 + \frac{1}{27}y^3 = 64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$.
Ответ: $64x^3 + 16x^2y + \frac{4}{3}xy^2 + \frac{1}{27}y^3$.

5) Для возведения в куб выражения $(\frac{2}{3}a-3b)^3$ воспользуемся формулой куба разности $(X-Y)^3 = X^3 - 3X^2Y + 3XY^2 - Y^3$.
В данном случае $X=\frac{2}{3}a$ и $Y=3b$.
$(\frac{2}{3}a-3b)^3 = (\frac{2}{3}a)^3 - 3 \cdot (\frac{2}{3}a)^2 \cdot (3b) + 3 \cdot (\frac{2}{3}a) \cdot (3b)^2 - (3b)^3 = \frac{8}{27}a^3 - 3 \cdot \frac{4}{9}a^2 \cdot 3b + 2a \cdot 9b^2 - 27b^3 = \frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$.
Ответ: $\frac{8}{27}a^3 - 4a^2b + 18ab^2 - 27b^3$.

6) Для возведения в куб выражения $(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3$ воспользуемся формулой куба суммы $(X+Y)^3 = X^3 + 3X^2Y + 3XY^2 + Y^3$.
В данном случае $X=\frac{1}{3}p$ и $Y=\frac{1}{2}q$.
$(\frac{1}{3}p+\frac{1}{2}q)^3 = (\frac{1}{3}p)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{3}p)^2 \cdot (\frac{1}{2}q) + 3 \cdot (\frac{1}{3}p) \cdot (\frac{1}{2}q)^2 + (\frac{1}{2}q)^3 = \frac{1}{27}p^3 + 3 \cdot \frac{1}{9}p^2 \cdot \frac{1}{2}q + p \cdot \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{8}q^3 = \frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$.
Ответ: $\frac{1}{27}p^3 + \frac{1}{6}p^2q + \frac{1}{4}pq^2 + \frac{1}{8}q^3$.

5.105. Представьте в виде многочлена:

1) $(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3$;

2) $(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3$;

3) $(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3$;

4) $(0,5 + 0,1b)^3$;

5) $(0,2m + 0,1n)^3$;

6) $(0,2x + 0,5y)^3$.

1)

Для преобразования выражения в многочлен используем формулу куба разности $(X-Y)^3=X^3-3X^2Y+3XY^2-Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{2}a$ и $Y=\frac{1}{3}b$.

$(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b)^3 = (\frac{1}{2}a)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{2}a)^2 \cdot (\frac{1}{3}b) + 3 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (\frac{1}{3}b)^2 - (\frac{1}{3}b)^3 = \frac{1}{8}a^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{1}{3}b + 3 \cdot \frac{1}{2}a \cdot \frac{1}{9}b^2 - \frac{1}{27}b^3 = \frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{8}a^3 - \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{6}ab^2 - \frac{1}{27}b^3$

2)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{6}x$ и $Y=\frac{1}{2}y$.

$(\frac{1}{6}x + \frac{1}{2}y)^3 = (\frac{1}{6}x)^3 + 3 \cdot (\frac{1}{6}x)^2 \cdot (\frac{1}{2}y) + 3 \cdot (\frac{1}{6}x) \cdot (\frac{1}{2}y)^2 + (\frac{1}{2}y)^3 = \frac{1}{216}x^3 + 3 \cdot \frac{1}{36}x^2 \cdot \frac{1}{2}y + 3 \cdot \frac{1}{6}x \cdot \frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{8}y^3 = \frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$.

Ответ: $\frac{1}{216}x^3 + \frac{1}{24}x^2y + \frac{1}{8}xy^2 + \frac{1}{8}y^3$

3)

Применим формулу куба разности $(X-Y)^3=X^3-3X^2Y+3XY^2-Y^3$. В данном случае $X=\frac{1}{2}m$ и $Y=\frac{1}{7}$.

$(\frac{1}{2}m - \frac{1}{7})^3 = (\frac{1}{2}m)^3 - 3 \cdot (\frac{1}{2}m)^2 \cdot (\frac{1}{7}) + 3 \cdot (\frac{1}{2}m) \cdot (\frac{1}{7})^2 - (\frac{1}{7})^3 = \frac{1}{8}m^3 - 3 \cdot \frac{1}{4}m^2 \cdot \frac{1}{7} + 3 \cdot \frac{1}{2}m \cdot \frac{1}{49} - \frac{1}{343} = \frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$.

Ответ: $\frac{1}{8}m^3 - \frac{3}{28}m^2 + \frac{3}{98}m - \frac{1}{343}$

4)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,5$ и $Y=0,1b$.

$(0,5 + 0,1b)^3 = (0,5)^3 + 3 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,1b) + 3 \cdot (0,5) \cdot (0,1b)^2 + (0,1b)^3 = 0,125 + 3 \cdot 0,25 \cdot 0,1b + 1,5 \cdot 0,01b^2 + 0,001b^3 = 0,125 + 0,075b + 0,015b^2 + 0,001b^3$.

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней): $0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$.

Ответ: $0,001b^3 + 0,015b^2 + 0,075b + 0,125$

5)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,2m$ и $Y=0,1n$.

$(0,2m + 0,1n)^3 = (0,2m)^3 + 3 \cdot (0,2m)^2 \cdot (0,1n) + 3 \cdot (0,2m) \cdot (0,1n)^2 + (0,1n)^3 = 0,008m^3 + 3 \cdot 0,04m^2 \cdot 0,1n + 3 \cdot 0,2m \cdot 0,01n^2 + 0,001n^3 = 0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$.

Ответ: $0,008m^3 + 0,012m^2n + 0,006mn^2 + 0,001n^3$

6)

Применим формулу куба суммы $(X+Y)^3=X^3+3X^2Y+3XY^2+Y^3$. В данном случае $X=0,2x$ и $Y=0,5y$.

$(0,2x + 0,5y)^3 = (0,2x)^3 + 3 \cdot (0,2x)^2 \cdot (0,5y) + 3 \cdot (0,2x) \cdot (0,5y)^2 + (0,5y)^3 = 0,008x^3 + 3 \cdot 0,04x^2 \cdot 0,5y + 3 \cdot 0,2x \cdot 0,25y^2 + 0,125y^3 = 0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$.

Ответ: $0,008x^3 + 0,06x^2y + 0,15xy^2 + 0,125y^3$

5.106. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27};$

2) $\frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8};$

3) $0,008a^3-0,6a^2b+15ab^2-125b^3;$

4) $0,027x^3+1,08x^2y+14,4xy^2+64y^3.$

1)
Данное выражение $\frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27}$ является разложением куба разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = \frac{x^3}{8} = (\frac{x}{2})^3$, следовательно, $a = \frac{x}{2}$.
Последний член: $-b^3 = -\frac{y^3}{27} = -(\frac{y}{3})^3$, следовательно, $b = \frac{y}{3}$.
Проверим средние члены:
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot \frac{y}{3} = -3 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \frac{y}{3} = -\frac{3x^2y}{12} = -\frac{x^2y}{4}$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot (\frac{y}{3})^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y^2}{9} = \frac{3xy^2}{18} = \frac{xy^2}{6}$. Совпадает.
Таким образом, выражение сворачивается в куб разности.
Ответ: $(\frac{x}{2} - \frac{y}{3})^3$.

2)
Рассмотрим выражение $\frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8}$.
Это выражение похоже на формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = \frac{125m^3}{27} = (\frac{5m}{3})^3$, следовательно, $a = \frac{5m}{3}$.
Последний член: $b^3 = \frac{125n^3}{8} = (\frac{5n}{2})^3$, следовательно, $b = \frac{5n}{2}$.
Проверим средние члены:
Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (\frac{5m}{3})^2 \cdot \frac{5n}{2} = 3 \cdot \frac{25m^2}{9} \cdot \frac{5n}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 5 m^2n}{18} = \frac{125m^2n}{6}$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot (\frac{5n}{2})^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot \frac{25n^2}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 25 mn^2}{12} = \frac{125mn^2}{4}$. Совпадает.
Следовательно, выражение является полным кубом суммы.
Ответ: $(\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2})^3$.

3)
Рассмотрим выражение $0,008a^3-0,6a^2b+15ab^2-125b^3$.
Это выражение соответствует формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член: $x^3 = 0,008a^3 = (0,2a)^3$, следовательно, $x = 0,2a$.
Последний член: $-y^3 = -125b^3 = -(5b)^3$, следовательно, $y = 5b$.
Проверим средние члены:
Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5b = -3 \cdot 0,04a^2 \cdot 5b = -0,6a^2b$. Совпадает.
Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot (5b)^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot 25b^2 = 15ab^2$. Совпадает.
Таким образом, данное выражение является кубом разности.
Ответ: $(0,2a - 5b)^3$.

4)
Рассмотрим выражение $0,027x^3+1,08x^2y+14,4xy^2+64y^3$.
Это выражение является разложением куба суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = 0,027x^3 = (0,3x)^3$, следовательно, $a = 0,3x$.
Последний член: $b^3 = 64y^3 = (4y)^3$, следовательно, $b = 4y$.
Проверим средние члены:
Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (0,3x)^2 \cdot 4y = 3 \cdot 0,09x^2 \cdot 4y = 1,08x^2y$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 0,3x \cdot (4y)^2 = 3 \cdot 0,3x \cdot 16y^2 = 14,4xy^2$. Совпадает.
Следовательно, выражение является полным кубом суммы.
Ответ: $(0,3x + 4y)^3$.

5.107. Выполните возведение в степень:

1) $(2a^3+3b^2)^3;$

2) $(x^2-y^2)^3;$

3) $(2m^2-3n^2)^3;$

4) $(7p^3+9q^4)^3;$

5) $(10x^2+\frac{1}{3}a^2)^3;$

6) $(0,3a^5+0,5b^2)^3.$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) Используем формулу куба суммы для выражения $(2a^3+3b^2)^3$.
Здесь $a = 2a^3$ и $b = 3b^2$.
$(2a^3+3b^2)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(3b^2) + 3(2a^3)(3b^2)^2 + (3b^2)^3$
$= 8a^{3 \cdot 3} + 3 \cdot 4a^{3 \cdot 2} \cdot 3b^2 + 3 \cdot 2a^3 \cdot 9b^{2 \cdot 2} + 27b^{2 \cdot 3}$
$= 8a^9 + 36a^6b^2 + 54a^3b^4 + 27b^6$
Ответ: $8a^9 + 36a^6b^2 + 54a^3b^4 + 27b^6$.

2) Используем формулу куба разности для выражения $(x^2-y^2)^3$.
Здесь $a = x^2$ и $b = y^2$.
$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$
$= x^{2 \cdot 3} - 3x^{2 \cdot 2}y^2 + 3x^2y^{2 \cdot 2} - y^{2 \cdot 3}$
$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$
Ответ: $x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

3) Используем формулу куба разности для выражения $(2m^2-3n^2)^3$.
Здесь $a = 2m^2$ и $b = 3n^2$.
$(2m^2-3n^2)^3 = (2m^2)^3 - 3(2m^2)^2(3n^2) + 3(2m^2)(3n^2)^2 - (3n^2)^3$
$= 8m^{2 \cdot 3} - 3 \cdot 4m^{2 \cdot 2} \cdot 3n^2 + 3 \cdot 2m^2 \cdot 9n^{2 \cdot 2} - 27n^{2 \cdot 3}$
$= 8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$
Ответ: $8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

4) Используем формулу куба суммы для выражения $(7p^3+9q^4)^3$.
Здесь $a = 7p^3$ и $b = 9q^4$.
$(7p^3+9q^4)^3 = (7p^3)^3 + 3(7p^3)^2(9q^4) + 3(7p^3)(9q^4)^2 + (9q^4)^3$
$= 343p^{3 \cdot 3} + 3 \cdot 49p^{3 \cdot 2} \cdot 9q^4 + 3 \cdot 7p^3 \cdot 81q^{4 \cdot 2} + 729q^{4 \cdot 3}$
$= 343p^9 + 1323p^6q^4 + 1701p^3q^8 + 729q^{12}$
Ответ: $343p^9 + 1323p^6q^4 + 1701p^3q^8 + 729q^{12}$.

5) Используем формулу куба суммы для выражения $\left(10x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3$.
Здесь $a = 10x^2$ и $b = \frac{1}{3}a^2$.
$\left(10x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3 = (10x^2)^3 + 3(10x^2)^2\left(\frac{1}{3}a^2\right) + 3(10x^2)\left(\frac{1}{3}a^2\right)^2 + \left(\frac{1}{3}a^2\right)^3$
$= 1000x^6 + 3 \cdot 100x^4 \cdot \frac{1}{3}a^2 + 3 \cdot 10x^2 \cdot \frac{1}{9}a^4 + \frac{1}{27}a^6$
$= 1000x^6 + 100x^4a^2 + \frac{10}{3}x^2a^4 + \frac{1}{27}a^6$
Ответ: $1000x^6 + 100x^4a^2 + \frac{10}{3}x^2a^4 + \frac{1}{27}a^6$.

6) Используем формулу куба суммы для выражения $(0,3a^5+0,5b^2)^3$.
Здесь $a = 0,3a^5$ и $b = 0,5b^2$.
$(0,3a^5+0,5b^2)^3 = (0,3a^5)^3 + 3(0,3a^5)^2(0,5b^2) + 3(0,3a^5)(0,5b^2)^2 + (0,5b^2)^3$
$= 0,027a^{15} + 3 \cdot 0,09a^{10} \cdot 0,5b^2 + 3 \cdot 0,3a^5 \cdot 0,25b^4 + 0,125b^6$
$= 0,027a^{15} + 0,135a^{10}b^2 + 0,225a^5b^4 + 0,125b^6$
Ответ: $0,027a^{15} + 0,135a^{10}b^2 + 0,225a^5b^4 + 0,125b^6$.

5.108. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^2+b^2)^3$;

2) $(x^2-y^2)^3$;

3) $(2m^2-3n^2)^3$;

4) $(2a^3-3b^2)^3$;

5) $(4m^3+5n^2)^3$;

6) $(10p^4-6q^2)^3$;

7) $(7u^3-9v^4)^3$;

8) $(10x^3+3y^2)^3$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1)

Чтобы представить выражение $(a^2+b^2)^3$ в виде многочлена, применяем формулу куба суммы. В данном случае, первое слагаемое $a^2$, второе $b^2$.

$(a^2+b^2)^3 = (a^2)^3 + 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3 = a^{2 \cdot 3} + 3a^{2 \cdot 2}b^2 + 3a^2b^{2 \cdot 2} + b^{2 \cdot 3} = a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6$.

Ответ: $a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6$.

2)

Чтобы представить выражение $(x^2-y^2)^3$ в виде многочлена, применяем формулу куба разности. Здесь уменьшаемое $x^2$, вычитаемое $y^2$.

$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3 = x^{2 \cdot 3} - 3x^{2 \cdot 2}y^2 + 3x^2y^{2 \cdot 2} - y^{2 \cdot 3} = x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

Ответ: $x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

3)

Применяем формулу куба разности для выражения $(2m^2-3n^2)^3$. Здесь уменьшаемое $2m^2$, вычитаемое $3n^2$.

$(2m^2-3n^2)^3 = (2m^2)^3 - 3(2m^2)^2(3n^2) + 3(2m^2)(3n^2)^2 - (3n^2)^3$

$= 2^3(m^2)^3 - 3(2^2(m^2)^2)(3n^2) + 3(2m^2)(3^2(n^2)^2) - 3^3(n^2)^3$

$= 8m^6 - 3(4m^4)(3n^2) + 3(2m^2)(9n^4) - 27n^6$

$= 8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

Ответ: $8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

4)

Применяем формулу куба разности для выражения $(2a^3-3b^2)^3$. Здесь уменьшаемое $2a^3$, вычитаемое $3b^2$.

$(2a^3-3b^2)^3 = (2a^3)^3 - 3(2a^3)^2(3b^2) + 3(2a^3)(3b^2)^2 - (3b^2)^3$

$= 2^3(a^3)^3 - 3(2^2(a^3)^2)(3b^2) + 3(2a^3)(3^2(b^2)^2) - 3^3(b^2)^3$

$= 8a^9 - 3(4a^6)(3b^2) + 3(2a^3)(9b^4) - 27b^6$

$= 8a^9 - 36a^6b^2 + 54a^3b^4 - 27b^6$.

Ответ: $8a^9 - 36a^6b^2 + 54a^3b^4 - 27b^6$.

5)

Применяем формулу куба суммы для выражения $(4m^3+5n^2)^3$. Здесь первое слагаемое $4m^3$, второе $5n^2$.

$(4m^3+5n^2)^3 = (4m^3)^3 + 3(4m^3)^2(5n^2) + 3(4m^3)(5n^2)^2 + (5n^2)^3$

$= 4^3(m^3)^3 + 3(4^2(m^3)^2)(5n^2) + 3(4m^3)(5^2(n^2)^2) + 5^3(n^2)^3$

$= 64m^9 + 3(16m^6)(5n^2) + 3(4m^3)(25n^4) + 125n^6$

$= 64m^9 + 240m^6n^2 + 300m^3n^4 + 125n^6$.

Ответ: $64m^9 + 240m^6n^2 + 300m^3n^4 + 125n^6$.

6)

Применяем формулу куба разности для выражения $(10p^4-6q^2)^3$. Здесь уменьшаемое $10p^4$, вычитаемое $6q^2$.

$(10p^4-6q^2)^3 = (10p^4)^3 - 3(10p^4)^2(6q^2) + 3(10p^4)(6q^2)^2 - (6q^2)^3$

$= 10^3(p^4)^3 - 3(10^2(p^4)^2)(6q^2) + 3(10p^4)(6^2(q^2)^2) - 6^3(q^2)^3$

$= 1000p^{12} - 3(100p^8)(6q^2) + 3(10p^4)(36q^4) - 216q^6$

$= 1000p^{12} - 1800p^8q^2 + 1080p^4q^4 - 216q^6$.

Ответ: $1000p^{12} - 1800p^8q^2 + 1080p^4q^4 - 216q^6$.

7)

Применяем формулу куба разности для выражения $(7u^3-9v^4)^3$. Здесь уменьшаемое $7u^3$, вычитаемое $9v^4$.

$(7u^3-9v^4)^3 = (7u^3)^3 - 3(7u^3)^2(9v^4) + 3(7u^3)(9v^4)^2 - (9v^4)^3$

$= 7^3(u^3)^3 - 3(7^2(u^3)^2)(9v^4) + 3(7u^3)(9^2(v^4)^2) - 9^3(v^4)^3$

$= 343u^9 - 3(49u^6)(9v^4) + 3(7u^3)(81v^8) - 729v^{12}$

$= 343u^9 - 1323u^6v^4 + 1701u^3v^8 - 729v^{12}$.

Ответ: $343u^9 - 1323u^6v^4 + 1701u^3v^8 - 729v^{12}$.

8)

Применяем формулу куба суммы для выражения $(10x^3+3y^2)^3$. Здесь первое слагаемое $10x^3$, второе $3y^2$.

$(10x^3+3y^2)^3 = (10x^3)^3 + 3(10x^3)^2(3y^2) + 3(10x^3)(3y^2)^2 + (3y^2)^3$

$= 10^3(x^3)^3 + 3(10^2(x^3)^2)(3y^2) + 3(10x^3)(3^2(y^2)^2) + 3^3(y^2)^3$

$= 1000x^9 + 3(100x^6)(3y^2) + 3(10x^3)(9y^4) + 27y^6$

$= 1000x^9 + 900x^6y^2 + 270x^3y^4 + 27y^6$.

Ответ: $1000x^9 + 900x^6y^2 + 270x^3y^4 + 27y^6$.

5.109. Докажите тождество:

1) $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3$;

2) $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b)^3$.

1) Для доказательства тождества $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b)^3$ преобразуем его левую часть. Для начала раскроем скобки в выражении $3ab(a+b)$:

$3ab(a+b) = 3ab \cdot a + 3ab \cdot b = 3a^2b + 3ab^2$

Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного равенства:

$a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = a^3 + (3a^2b + 3ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ является разложением куба суммы по формуле сокращенного умножения, то есть $(a+b)^3$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части, что доказывает их равенство.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b)^3$ преобразуем его левую часть. Раскроем скобки в выражении $-3ab(a-b)$:

$-3ab(a-b) = (-3ab) \cdot a - (-3ab) \cdot b = -3a^2b + 3ab^2$

Подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:

$a^3 - 3ab(a-b) - b^3 = a^3 + (-3a^2b + 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Выражение $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ является разложением куба разности по формуле сокращенного умножения, то есть $(a-b)^3$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества к виду правой части, что доказывает их равенство.

Ответ: Тождество доказано.