Номер 5.108, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.108. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^2+b^2)^3$;

2) $(x^2-y^2)^3$;

3) $(2m^2-3n^2)^3$;

4) $(2a^3-3b^2)^3$;

5) $(4m^3+5n^2)^3$;

6) $(10p^4-6q^2)^3$;

7) $(7u^3-9v^4)^3$;

8) $(10x^3+3y^2)^3$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

• Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1)

Чтобы представить выражение $(a^2+b^2)^3$ в виде многочлена, применяем формулу куба суммы. В данном случае, первое слагаемое $a^2$, второе $b^2$.

$(a^2+b^2)^3 = (a^2)^3 + 3(a^2)^2(b^2) + 3(a^2)(b^2)^2 + (b^2)^3 = a^{2 \cdot 3} + 3a^{2 \cdot 2}b^2 + 3a^2b^{2 \cdot 2} + b^{2 \cdot 3} = a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6$.

Ответ: $a^6 + 3a^4b^2 + 3a^2b^4 + b^6$.

2)

Чтобы представить выражение $(x^2-y^2)^3$ в виде многочлена, применяем формулу куба разности. Здесь уменьшаемое $x^2$, вычитаемое $y^2$.

$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3 = x^{2 \cdot 3} - 3x^{2 \cdot 2}y^2 + 3x^2y^{2 \cdot 2} - y^{2 \cdot 3} = x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

Ответ: $x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

3)

Применяем формулу куба разности для выражения $(2m^2-3n^2)^3$. Здесь уменьшаемое $2m^2$, вычитаемое $3n^2$.

$(2m^2-3n^2)^3 = (2m^2)^3 - 3(2m^2)^2(3n^2) + 3(2m^2)(3n^2)^2 - (3n^2)^3$

$= 2^3(m^2)^3 - 3(2^2(m^2)^2)(3n^2) + 3(2m^2)(3^2(n^2)^2) - 3^3(n^2)^3$

$= 8m^6 - 3(4m^4)(3n^2) + 3(2m^2)(9n^4) - 27n^6$

$= 8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

Ответ: $8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

4)

Применяем формулу куба разности для выражения $(2a^3-3b^2)^3$. Здесь уменьшаемое $2a^3$, вычитаемое $3b^2$.

$(2a^3-3b^2)^3 = (2a^3)^3 - 3(2a^3)^2(3b^2) + 3(2a^3)(3b^2)^2 - (3b^2)^3$

$= 2^3(a^3)^3 - 3(2^2(a^3)^2)(3b^2) + 3(2a^3)(3^2(b^2)^2) - 3^3(b^2)^3$

$= 8a^9 - 3(4a^6)(3b^2) + 3(2a^3)(9b^4) - 27b^6$

$= 8a^9 - 36a^6b^2 + 54a^3b^4 - 27b^6$.

Ответ: $8a^9 - 36a^6b^2 + 54a^3b^4 - 27b^6$.

5)

Применяем формулу куба суммы для выражения $(4m^3+5n^2)^3$. Здесь первое слагаемое $4m^3$, второе $5n^2$.

$(4m^3+5n^2)^3 = (4m^3)^3 + 3(4m^3)^2(5n^2) + 3(4m^3)(5n^2)^2 + (5n^2)^3$

$= 4^3(m^3)^3 + 3(4^2(m^3)^2)(5n^2) + 3(4m^3)(5^2(n^2)^2) + 5^3(n^2)^3$

$= 64m^9 + 3(16m^6)(5n^2) + 3(4m^3)(25n^4) + 125n^6$

$= 64m^9 + 240m^6n^2 + 300m^3n^4 + 125n^6$.

Ответ: $64m^9 + 240m^6n^2 + 300m^3n^4 + 125n^6$.

6)

Применяем формулу куба разности для выражения $(10p^4-6q^2)^3$. Здесь уменьшаемое $10p^4$, вычитаемое $6q^2$.

$(10p^4-6q^2)^3 = (10p^4)^3 - 3(10p^4)^2(6q^2) + 3(10p^4)(6q^2)^2 - (6q^2)^3$

$= 10^3(p^4)^3 - 3(10^2(p^4)^2)(6q^2) + 3(10p^4)(6^2(q^2)^2) - 6^3(q^2)^3$

$= 1000p^{12} - 3(100p^8)(6q^2) + 3(10p^4)(36q^4) - 216q^6$

$= 1000p^{12} - 1800p^8q^2 + 1080p^4q^4 - 216q^6$.

Ответ: $1000p^{12} - 1800p^8q^2 + 1080p^4q^4 - 216q^6$.

7)

Применяем формулу куба разности для выражения $(7u^3-9v^4)^3$. Здесь уменьшаемое $7u^3$, вычитаемое $9v^4$.

$(7u^3-9v^4)^3 = (7u^3)^3 - 3(7u^3)^2(9v^4) + 3(7u^3)(9v^4)^2 - (9v^4)^3$

$= 7^3(u^3)^3 - 3(7^2(u^3)^2)(9v^4) + 3(7u^3)(9^2(v^4)^2) - 9^3(v^4)^3$

$= 343u^9 - 3(49u^6)(9v^4) + 3(7u^3)(81v^8) - 729v^{12}$

$= 343u^9 - 1323u^6v^4 + 1701u^3v^8 - 729v^{12}$.

Ответ: $343u^9 - 1323u^6v^4 + 1701u^3v^8 - 729v^{12}$.

8)

Применяем формулу куба суммы для выражения $(10x^3+3y^2)^3$. Здесь первое слагаемое $10x^3$, второе $3y^2$.

$(10x^3+3y^2)^3 = (10x^3)^3 + 3(10x^3)^2(3y^2) + 3(10x^3)(3y^2)^2 + (3y^2)^3$

$= 10^3(x^3)^3 + 3(10^2(x^3)^2)(3y^2) + 3(10x^3)(3^2(y^2)^2) + 3^3(y^2)^3$

$= 1000x^9 + 3(100x^6)(3y^2) + 3(10x^3)(9y^4) + 27y^6$

$= 1000x^9 + 900x^6y^2 + 270x^3y^4 + 27y^6$.

Ответ: $1000x^9 + 900x^6y^2 + 270x^3y^4 + 27y^6$.