Номер 5.115, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.115. Вместо знака * впишите одночлен такой, чтобы получилось тождество:

1) $(2a-*)^3=8a^3-36a^2b+54ab^2-(*)^3;$

2) $\left(* + \frac{y}{2}\right)^3 = 27x^3 + \frac{27}{2} x^2y + \frac{3 \cdot *}{4} y^2 + \frac{y^3}{8}.$

1) Данное тождество основано на формуле сокращенного умножения для куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В левой части равенства $(2a-*)^3$ первым слагаемым является $2a$. Обозначим искомый одночлен (то, что стоит на месте знака $*$) через $X$. Тогда левая часть примет вид $(2a - X)^3$.

Раскроем скобки, используя формулу:

$(2a - X)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot X + 3 \cdot (2a) \cdot X^2 - X^3 = 8a^3 - 12a^2X + 6aX^2 - X^3$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества: $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - (*)^3$.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменных. Сравним вторые члены разложения:

$-12a^2X = -36a^2b$

Разделим обе части на $-12a^2$, чтобы найти $X$:

$X = \frac{-36a^2b}{-12a^2} = 3b$

Проведем проверку, сравнив третьи члены. В нашем разложении это $6aX^2$. Подставим в него найденное значение $X=3b$:

$6a(3b)^2 = 6a(9b^2) = 54ab^2$

Этот результат совпадает с третьим членом в правой части тождества, следовательно, одночлен найден верно.

Ответ: $3b$

2) Данное тождество основано на формуле сокращенного умножения для куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В левой части равенства $(* + \frac{y}{2})^3$ вторым слагаемым является $\frac{y}{2}$. Обозначим искомый одночлен через $X$. Тогда левая часть примет вид $(X + \frac{y}{2})^3$.

Раскроем скобки, используя формулу:

$(X + \frac{y}{2})^3 = X^3 + 3 \cdot X^2 \cdot (\frac{y}{2}) + 3 \cdot X \cdot (\frac{y}{2})^2 + (\frac{y}{2})^3 = X^3 + \frac{3}{2}X^2y + \frac{3}{4}Xy^2 + \frac{y^3}{8}$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного тождества: $27x^3 + \frac{27}{2}x^2y + \frac{3 \cdot *}{4}y^2 + \frac{y^3}{8}$.

Сравним первые члены разложения:

$X^3 = 27x^3$

Чтобы найти $X$, извлечем кубический корень из обеих частей равенства:

$X = \sqrt[3]{27x^3} = 3x$

Проведем проверку, сравнив вторые члены. В нашем разложении это $\frac{3}{2}X^2y$. Подставим в него найденное значение $X=3x$:

$\frac{3}{2}(3x)^2y = \frac{3}{2}(9x^2)y = \frac{27}{2}x^2y$

Этот результат совпадает со вторым членом в правой части тождества. Третий член в исходном равенстве $\frac{3 \cdot *}{4}y^2$ также подтверждает, что вместо $*$ должен стоять $X$, так как $\frac{3}{4}Xy^2 = \frac{3 \cdot (3x)}{4}y^2$. Следовательно, одночлен найден верно.

Ответ: $3x$