Номер 5.119, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.119. Для натуральных чисел $n$, $m$, $k$ сумма $n+m+k$ делится на 6. Докажите, что сумма $n^3+m^3+k^3$ также делится на 6.

По условию задачи, сумма натуральных чисел $n, m, k$ делится на 6. Это означает, что существует такое целое число $A$, что $n + m + k = 6A$. Нам нужно доказать, что сумма $n^3 + m^3 + k^3$ также делится на 6.

Рассмотрим разность между суммой кубов и суммой самих чисел:

$S = (n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k)$

Сгруппируем слагаемые в этом выражении:

$S = (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$

Теперь проанализируем каждое слагаемое в отдельности. Возьмем, к примеру, $n^3 - n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Выражение $(n-1)n(n+1)$ представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел обязательно есть:
1. Хотя бы одно четное число, а значит, произведение делится на 2.
2. Ровно одно число, кратное 3, а значит, произведение делится на 3.

Поскольку числа 2 и 3 являются взаимно простыми, то произведение, которое делится на 2 и на 3, также делится и на их произведение, то есть на $2 \times 3 = 6$. Таким образом, $n^3 - n$ всегда делится на 6 для любого натурального $n$.

Аналогично, выражения $m^3 - m$ и $k^3 - k$ также делятся на 6.

Следовательно, их сумма $S = (n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$ также делится на 6, так как является суммой трех чисел, каждое из которых делится на 6. Можно записать, что $S = 6B$ для некоторого целого числа $B$.

Мы получили, что $(n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k) = 6B$. Выразим отсюда сумму кубов:

$n^3 + m^3 + k^3 = (n + m + k) + 6B$

По условию задачи, $n + m + k$ делится на 6, то есть $n + m + k = 6A$. Подставим это в наше равенство:

$n^3 + m^3 + k^3 = 6A + 6B = 6(A+B)$

Так как $A$ и $B$ — целые числа, их сумма $A+B$ также является целым числом. Следовательно, выражение $n^3 + m^3 + k^3$ является произведением числа 6 и целого числа, что означает, что оно делится на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность $(n^3 + m^3 + k^3) - (n + m + k)$ можно представить в виде суммы $(n^3 - n) + (m^3 - m) + (k^3 - k)$. Каждый член этой суммы, например $n^3-n = (n-1)n(n+1)$, является произведением трех последовательных целых чисел и потому делится на 6. Значит, вся разность делится на 6. Так как по условию уменьшаемое $(n + m + k)$ делится на 6, то и вычитаемое $(n^3 + m^3 + k^3)$ также должно делиться на 6.