Номер 5.113, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.113. Решите уравнение:

1) $(x+2)^3=x^3+8;$

2) $(3x-1)^3=27x^3-1.$

1) $(x+2)^3=x^3+8$

Для решения данного уравнения раскроем скобки в левой части, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. В нашем случае $a=x$ и $b=2$.

$(x+2)^3 = x^3+3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3+6x^2+12x+8$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$x^3+6x^2+12x+8 = x^3+8$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + 6x^2 + 12x + (8 - 8) = 0$

$6x^2+12x=0$

Мы получили неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $6x$ за скобки:

$6x(x+2)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

1. $6x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $x+2 = 0 \implies x_2 = -2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 0$.

2) $(3x-1)^3=27x^3-1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу куба разности: $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. В нашем случае $a=3x$ и $b=1$.

$(3x-1)^3 = (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3x \cdot 1^2 - 1^3 = 27x^3 - 3 \cdot 9x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 = 27x^3 - 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим выражение:

$(27x^3 - 27x^3) - 27x^2 + 9x + (-1 + 1) = 0$

$-27x^2+9x=0$

Вынесем общий множитель $-9x$ за скобки:

$-9x(3x-1)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $-9x = 0 \implies x_1 = 0$

2. $3x-1 = 0 \implies 3x=1 \implies x_2 = \frac{1}{3}$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $0; \frac{1}{3}$.