Номер 5.106, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.106. Упростите выражение:

1) $\frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27};$

2) $\frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8};$

3) $0,008a^3-0,6a^2b+15ab^2-125b^3;$

4) $0,027x^3+1,08x^2y+14,4xy^2+64y^3.$

1)
Данное выражение $\frac{x^3}{8} - \frac{x^2y}{4} + \frac{xy^2}{6} - \frac{y^3}{27}$ является разложением куба разности по формуле $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = \frac{x^3}{8} = (\frac{x}{2})^3$, следовательно, $a = \frac{x}{2}$.
Последний член: $-b^3 = -\frac{y^3}{27} = -(\frac{y}{3})^3$, следовательно, $b = \frac{y}{3}$.
Проверим средние члены:
Второй член: $-3a^2b = -3 \cdot (\frac{x}{2})^2 \cdot \frac{y}{3} = -3 \cdot \frac{x^2}{4} \cdot \frac{y}{3} = -\frac{3x^2y}{12} = -\frac{x^2y}{4}$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot (\frac{y}{3})^2 = 3 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{y^2}{9} = \frac{3xy^2}{18} = \frac{xy^2}{6}$. Совпадает.
Таким образом, выражение сворачивается в куб разности.
Ответ: $(\frac{x}{2} - \frac{y}{3})^3$.

2)
Рассмотрим выражение $\frac{125m^3}{27} + \frac{125m^2n}{6} + \frac{125mn^2}{4} + \frac{125n^3}{8}$.
Это выражение похоже на формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = \frac{125m^3}{27} = (\frac{5m}{3})^3$, следовательно, $a = \frac{5m}{3}$.
Последний член: $b^3 = \frac{125n^3}{8} = (\frac{5n}{2})^3$, следовательно, $b = \frac{5n}{2}$.
Проверим средние члены:
Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (\frac{5m}{3})^2 \cdot \frac{5n}{2} = 3 \cdot \frac{25m^2}{9} \cdot \frac{5n}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 5 m^2n}{18} = \frac{125m^2n}{6}$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot (\frac{5n}{2})^2 = 3 \cdot \frac{5m}{3} \cdot \frac{25n^2}{4} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 25 mn^2}{12} = \frac{125mn^2}{4}$. Совпадает.
Следовательно, выражение является полным кубом суммы.
Ответ: $(\frac{5m}{3} + \frac{5n}{2})^3$.

3)
Рассмотрим выражение $0,008a^3-0,6a^2b+15ab^2-125b^3$.
Это выражение соответствует формуле куба разности $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.
Определим $x$ и $y$.
Первый член: $x^3 = 0,008a^3 = (0,2a)^3$, следовательно, $x = 0,2a$.
Последний член: $-y^3 = -125b^3 = -(5b)^3$, следовательно, $y = 5b$.
Проверим средние члены:
Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot (0,2a)^2 \cdot 5b = -3 \cdot 0,04a^2 \cdot 5b = -0,6a^2b$. Совпадает.
Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot (5b)^2 = 3 \cdot 0,2a \cdot 25b^2 = 15ab^2$. Совпадает.
Таким образом, данное выражение является кубом разности.
Ответ: $(0,2a - 5b)^3$.

4)
Рассмотрим выражение $0,027x^3+1,08x^2y+14,4xy^2+64y^3$.
Это выражение является разложением куба суммы по формуле $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Определим $a$ и $b$.
Первый член: $a^3 = 0,027x^3 = (0,3x)^3$, следовательно, $a = 0,3x$.
Последний член: $b^3 = 64y^3 = (4y)^3$, следовательно, $b = 4y$.
Проверим средние члены:
Второй член: $3a^2b = 3 \cdot (0,3x)^2 \cdot 4y = 3 \cdot 0,09x^2 \cdot 4y = 1,08x^2y$. Совпадает.
Третий член: $3ab^2 = 3 \cdot 0,3x \cdot (4y)^2 = 3 \cdot 0,3x \cdot 16y^2 = 14,4xy^2$. Совпадает.
Следовательно, выражение является полным кубом суммы.
Ответ: $(0,3x + 4y)^3$.