Номер 5.107, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.107. Выполните возведение в степень:

1) $(2a^3+3b^2)^3;$

2) $(x^2-y^2)^3;$

3) $(2m^2-3n^2)^3;$

4) $(7p^3+9q^4)^3;$

5) $(10x^2+\frac{1}{3}a^2)^3;$

6) $(0,3a^5+0,5b^2)^3.$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

Куб суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Куб разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

1) Используем формулу куба суммы для выражения $(2a^3+3b^2)^3$.
Здесь $a = 2a^3$ и $b = 3b^2$.
$(2a^3+3b^2)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(3b^2) + 3(2a^3)(3b^2)^2 + (3b^2)^3$
$= 8a^{3 \cdot 3} + 3 \cdot 4a^{3 \cdot 2} \cdot 3b^2 + 3 \cdot 2a^3 \cdot 9b^{2 \cdot 2} + 27b^{2 \cdot 3}$
$= 8a^9 + 36a^6b^2 + 54a^3b^4 + 27b^6$
Ответ: $8a^9 + 36a^6b^2 + 54a^3b^4 + 27b^6$.

2) Используем формулу куба разности для выражения $(x^2-y^2)^3$.
Здесь $a = x^2$ и $b = y^2$.
$(x^2-y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3$
$= x^{2 \cdot 3} - 3x^{2 \cdot 2}y^2 + 3x^2y^{2 \cdot 2} - y^{2 \cdot 3}$
$= x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$
Ответ: $x^6 - 3x^4y^2 + 3x^2y^4 - y^6$.

3) Используем формулу куба разности для выражения $(2m^2-3n^2)^3$.
Здесь $a = 2m^2$ и $b = 3n^2$.
$(2m^2-3n^2)^3 = (2m^2)^3 - 3(2m^2)^2(3n^2) + 3(2m^2)(3n^2)^2 - (3n^2)^3$
$= 8m^{2 \cdot 3} - 3 \cdot 4m^{2 \cdot 2} \cdot 3n^2 + 3 \cdot 2m^2 \cdot 9n^{2 \cdot 2} - 27n^{2 \cdot 3}$
$= 8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$
Ответ: $8m^6 - 36m^4n^2 + 54m^2n^4 - 27n^6$.

4) Используем формулу куба суммы для выражения $(7p^3+9q^4)^3$.
Здесь $a = 7p^3$ и $b = 9q^4$.
$(7p^3+9q^4)^3 = (7p^3)^3 + 3(7p^3)^2(9q^4) + 3(7p^3)(9q^4)^2 + (9q^4)^3$
$= 343p^{3 \cdot 3} + 3 \cdot 49p^{3 \cdot 2} \cdot 9q^4 + 3 \cdot 7p^3 \cdot 81q^{4 \cdot 2} + 729q^{4 \cdot 3}$
$= 343p^9 + 1323p^6q^4 + 1701p^3q^8 + 729q^{12}$
Ответ: $343p^9 + 1323p^6q^4 + 1701p^3q^8 + 729q^{12}$.

5) Используем формулу куба суммы для выражения $\left(10x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3$.
Здесь $a = 10x^2$ и $b = \frac{1}{3}a^2$.
$\left(10x^2+\frac{1}{3}a^2\right)^3 = (10x^2)^3 + 3(10x^2)^2\left(\frac{1}{3}a^2\right) + 3(10x^2)\left(\frac{1}{3}a^2\right)^2 + \left(\frac{1}{3}a^2\right)^3$
$= 1000x^6 + 3 \cdot 100x^4 \cdot \frac{1}{3}a^2 + 3 \cdot 10x^2 \cdot \frac{1}{9}a^4 + \frac{1}{27}a^6$
$= 1000x^6 + 100x^4a^2 + \frac{10}{3}x^2a^4 + \frac{1}{27}a^6$
Ответ: $1000x^6 + 100x^4a^2 + \frac{10}{3}x^2a^4 + \frac{1}{27}a^6$.

6) Используем формулу куба суммы для выражения $(0,3a^5+0,5b^2)^3$.
Здесь $a = 0,3a^5$ и $b = 0,5b^2$.
$(0,3a^5+0,5b^2)^3 = (0,3a^5)^3 + 3(0,3a^5)^2(0,5b^2) + 3(0,3a^5)(0,5b^2)^2 + (0,5b^2)^3$
$= 0,027a^{15} + 3 \cdot 0,09a^{10} \cdot 0,5b^2 + 3 \cdot 0,3a^5 \cdot 0,25b^4 + 0,125b^6$
$= 0,027a^{15} + 0,135a^{10}b^2 + 0,225a^5b^4 + 0,125b^6$
Ответ: $0,027a^{15} + 0,135a^{10}b^2 + 0,225a^5b^4 + 0,125b^6$.