Номер 5.112, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.112. Разложите на множители:

1) $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2$;

2) $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3$;

3) $a^2-b^2-(a-b)^3$;

4) $(m+2n)^3-m^2+4n^2$;

5) $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$;

6) $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

1) Исходное выражение: $(a-b)^3-a^2+2ab-b^2$.

Сгруппируем последние три члена и вынесем знак минус за скобки: $-a^2+2ab-b^2 = -(a^2-2ab+b^2)$.

Выражение в скобках является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $(a-b)^3 - (a-b)^2$.

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a-b)^2$ за скобки: $(a-b)^2((a-b)-1)$.

Упростим выражение во второй скобке: $(a-b)^2(a-b-1)$.

Ответ: $(a-b)^2(a-b-1)$.

2) Исходное выражение: $x^2+y^2+2xy-(x+y)^3$.

Первые три члена представляют собой полный квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $(x+y)^2 - (x+y)^3$.

Вынесем общий множитель $(x+y)^2$ за скобки: $(x+y)^2(1-(x+y))$.

Раскроем скобки внутри второго множителя: $(x+y)^2(1-x-y)$.

Ответ: $(x+y)^2(1-x-y)$.

3) Исходное выражение: $a^2-b^2-(a-b)^3$.

Первые два члена представляют собой разность квадратов по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим это в исходное выражение: $(a-b)(a+b) - (a-b)^3$.

Вынесем общий множитель $(a-b)$ за скобки: $(a-b)((a+b)-(a-b)^2)$.

Раскроем квадрат разности во второй скобке: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Получим: $(a-b)(a+b-(a^2-2ab+b^2))$.

Раскроем внутренние скобки: $(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$.

Ответ: $(a-b)(a+b-a^2+2ab-b^2)$.

4) Исходное выражение: $(m+2n)^3-m^2+4n^2$.

Перегруппируем последние два члена: $-m^2+4n^2 = 4n^2-m^2$.

Это выражение является разностью квадратов: $4n^2-m^2 = (2n)^2-m^2 = (2n-m)(2n+m)$.

Заметим, что $(2n+m)$ это то же самое, что и $(m+2n)$.

Исходное выражение можно переписать как: $(m+2n)^3 + (2n-m)(m+2n)$.

Вынесем общий множитель $(m+2n)$ за скобки: $(m+2n)((m+2n)^2 + (2n-m))$.

Раскроем квадрат суммы в скобках: $(m+2n)^2 = m^2+4mn+4n^2$.

Подставим и упростим выражение во второй скобке: $(m+2n)(m^2+4mn+4n^2 + 2n-m)$.

Ответ: $(m+2n)(m^2+4mn+4n^2-m+2n)$.

5) Исходное выражение: $(c-2y)^2+c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3$.

Это выражение соответствует формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

Пусть $a=c$ и $b=2y$. Проверим: $a^3 = c^3$, $3a^2b = 3c^2(2y) = 6c^2y$, $3ab^2 = 3c(2y)^2 = 12cy^2$, $b^3 = (2y)^3 = 8y^3$.

Следовательно, $c^3-6c^2y+12cy^2-8y^3 = (c-2y)^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(c-2y)^2 + (c-2y)^3$.

Вынесем общий множитель $(c-2y)^2$ за скобки: $(c-2y)^2(1+(c-2y))$.

Упростим выражение во второй скобке: $(c-2y)^2(1+c-2y)$.

Ответ: $(c-2y)^2(1+c-2y)$.

6) Исходное выражение: $(x+3y)^2-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $-x^3-9x^2y-27xy^2-27y^3$.

Вынесем знак минус за скобки: $-(x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3)$.

Выражение в скобках соответствует формуле куба суммы $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$.

Пусть $a=x$ и $b=3y$. Проверим: $a^3 = x^3$, $3a^2b = 3x^2(3y) = 9x^2y$, $3ab^2 = 3x(3y)^2 = 27xy^2$, $b^3 = (3y)^3 = 27y^3$.

Следовательно, $x^3+9x^2y+27xy^2+27y^3 = (x+3y)^3$.

Подставим это в исходное выражение: $(x+3y)^2 - (x+3y)^3$.

Вынесем общий множитель $(x+3y)^2$ за скобки: $(x+3y)^2(1-(x+3y))$.

Раскроем скобки внутри второго множителя: $(x+3y)^2(1-x-3y)$.

Ответ: $(x+3y)^2(1-x-3y)$.