Номер 5.117, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.117. Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Для доказательства данного утверждения представим три последовательных натуральных числа в виде $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее или равное 2 ($n \ge 2$). Такой выбор охватывает все возможные тройки последовательных натуральных чисел (например, для тройки 1, 2, 3 мы берем $n=2$).

Запишем сумму кубов этих чисел. Обозначим эту сумму как $S$: $S = (n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$

Воспользуемся формулами куба суммы и куба разности для раскрытия скобок: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эти формулы к нашему выражению: $(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ $(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$

Теперь подставим раскрытые скобки обратно в выражение для суммы $S$: $S = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $S = (n^3 + n^3 + n^3) + (-3n^2 + 3n^2) + (3n + 3n) + (-1 + 1)$

Упростим выражение: $S = 3n^3 + 6n$

Теперь вынесем общий множитель 3 за скобки: $S = 3(n^3 + 2n)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^3$ и $2n$ также являются натуральными числами, а их сумма $n^3 + 2n$ — целое число. Полученное выражение для $S$ является произведением числа 3 и целого числа $n^3 + 2n$. Следовательно, сумма $S$ всегда делится на 3 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов трех последовательных натуральных чисел $(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3$ равна $3n^3 + 6n = 3(n^3 + 2n)$, что очевидно делится на 3.