Номер 5.122, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.122. Разложите на множители:

1) $x^3-y^3+5x(x^2+xy+y^2)$

2) $a^3-b^3-5a^2b+5ab^2$

1) Разложим на множители выражение $x^3 - y^3 + 5x(x^2 + xy + y^2)$.

Первым шагом воспользуемся формулой разности кубов для выражения $x^3 - y^3$. Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применив эту формулу, получаем:

$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 5x(x^2 + xy + y^2)$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(x^2 + xy + y^2)$. Вынесем его за скобки:

$(x^2 + xy + y^2)((x - y) + 5x)$

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(x - y) + 5x = x + 5x - y = 6x - y$

В итоге получаем окончательное разложение на множители:

$(6x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(6x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

2) Разложим на множители выражение $a^3 - b^3 - 5a^2b + 5ab^2$.

Сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(a^3 - b^3) + (-5a^2b + 5ab^2)$

Разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-5ab$:

$-5a^2b + 5ab^2 = -5ab(a - b)$

Теперь подставим разложенные группы обратно в выражение:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) - 5ab(a - b)$

Мы видим, что у нас появился общий множитель $(a - b)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)((a^2 + ab + b^2) - 5ab)$

Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:

$a^2 + ab + b^2 - 5ab = a^2 - 4ab + b^2$

Таким образом, окончательное разложение на множители выглядит так:

$(a - b)(a^2 - 4ab + b^2)$

Ответ: $(a - b)(a^2 - 4ab + b^2)$.