Вопросы, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое выражение называют целым?

2. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.

3. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

1. Какое выражение называют целым?

Целым алгебраическим выражением называют такое выражение, которое составлено из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения, а также возведения в натуральную степень (которое является частным случаем умножения). Главный признак целого выражения — оно не содержит деления на переменную или на выражение с переменной.

Ответ: Целым называют выражение, которое не содержит операции деления на выражение с переменными.

2. Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.

Пример целого выражения: $5x^2 - 12xy + y^3$. Это выражение является многочленом, а любой многочлен — это целое выражение, так как он содержит только операции сложения, вычитания и умножения.

Пример выражения, не являющегося целым: $\frac{3a}{a-b} + 7c$. Такое выражение называют дробно-рациональным, поскольку оно содержит деление на выражение с переменной ($a-b$).

Ответ: Пример целого выражения: $8a^2 - 3b$. Пример выражения, не являющегося целым: $\frac{8a^2-3b}{a}$.

3. Какие способы разложения многочлена на множители вы знаете?

Существуют следующие основные способы разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки.
Этот способ основан на распределительном свойстве умножения. Если все члены многочлена содержат общий множитель, его можно вынести за скобки.
Пример: $14x^2y - 21xy^2 = 7xy(2x - 3y)$.

2. Способ группировки.
Применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. Члены многочлена объединяют в группы так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки свой общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех образовавшихся групп.
Пример: $ax + by + ay + bx = (ax + ay) + (bx + by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.

3. Применение формул сокращенного умножения.
Используются известные тождества для представления многочлена в виде произведения. Основные формулы:
- Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
- Квадрат суммы и разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
- Сумма и разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

4. Разложение квадратного трёхчлена.
Если для квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ можно найти корни $x_1$ и $x_2$ соответствующего уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то он раскладывается на множители по формуле: $ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

5. Метод выделения полного квадрата.
Этот метод заключается в преобразовании многочлена путем прибавления и вычитания одного и того же выражения с целью получить полный квадрат, что часто позволяет затем применить формулу разности квадратов.
Пример: $x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$.

Ответ: Основные способы разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена.