Страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.97. Найдите координаты точек пересечения графика функции $y=0,4x^2+2$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции $y = 0,4x + 2$ с осями координат, необходимо найти точки, у которых одна из координат равна нулю.

Пересечение с осью ординат (осью Oy)

Точка пересечения графика с осью ординат имеет абсциссу $x=0$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y = 0,4 \cdot 0 + 2$

$y = 0 + 2$

$y = 2$

Следовательно, координаты точки пересечения графика с осью Oy: $(0; 2)$.

Ответ: $(0; 2)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)

Точка пересечения графика с осью абсцисс имеет ординату $y=0$. Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующую абсциссу $x$:

$0 = 0,4x + 2$

Перенесем 2 в левую часть уравнения, изменив знак:

$-2 = 0,4x$

Разделим обе части уравнения на 0,4:

$x = \frac{-2}{0,4}$

$x = -5$

Следовательно, координаты точки пересечения графика с осью Ox: $(-5; 0)$.

Ответ: $(-5; 0)$.

5.98. В каких четвертях координатной плоскости расположены графики функций:

1) $y=-0,001x^2;$

2) $y=100x^2;$

3) $y=-2x^3;$

4) $y=-\frac{1}{8}x^3?$

Чтобы определить, в каких четвертях координатной плоскости расположены графики функций, необходимо проанализировать знаки переменных x и y. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки:

• I четверть: $x > 0, y > 0$
• II четверть: $x < 0, y > 0$
• III четверть: $x < 0, y < 0$
• IV четверть: $x > 0, y < 0$

Рассмотрим функцию $y=-0,001x^2$. Это функция вида $y=kx^2$, где $k=-0,001$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ при любом значении $x$.
Коэффициент $k = -0,001$ является отрицательным числом.
Следовательно, произведение $-0,001x^2$ будет всегда неположительным, то есть $y \le 0$ для любого $x$.
- Если $x > 0$ (правая полуплоскость), то $y < 0$. Это соответствует IV четверти.
- Если $x < 0$ (левая полуплоскость), то $y < 0$. Это соответствует III четверти.
При $x=0$, $y=0$, точка $(0,0)$ лежит на осях.
Таким образом, график функции расположен в третьей и четвертой четвертях.
Ответ: в III и IV четвертях.

Рассмотрим функцию $y=100x^2$. Это функция вида $y=kx^2$, где $k=100$.
Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$).
Коэффициент $k = 100$ является положительным числом.
Следовательно, произведение $100x^2$ будет всегда неотрицательным, то есть $y \ge 0$ для любого $x$.
- Если $x > 0$ (правая полуплоскость), то $y > 0$. Это соответствует I четверти.
- Если $x < 0$ (левая полуплоскость), то $y > 0$. Это соответствует II четверти.
При $x=0$, $y=0$, точка $(0,0)$ лежит на осях.
Таким образом, график функции расположен в первой и второй четвертях.
Ответ: в I и II четвертях.

Рассмотрим функцию $y=-2x^3$. Это функция вида $y=kx^3$, где $k=-2$.
Знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$.
Коэффициент $k = -2$ является отрицательным числом.
Следовательно, знак $y$ будет противоположен знаку $x$.
- Если $x > 0$, то $y < 0$. Это соответствует IV четверти.
- Если $x < 0$, то $y > 0$. Это соответствует II четверти.
При $x=0$, $y=0$, точка $(0,0)$ лежит на осях.
Таким образом, график функции расположен во второй и четвертой четвертях.
Ответ: во II и IV четвертях.

Рассмотрим функцию $y=\frac{1}{8}x^3$. Это функция вида $y=kx^3$, где $k=\frac{1}{8}$.
Знак выражения $x^3$ совпадает со знаком $x$.
Коэффициент $k = \frac{1}{8}$ является положительным числом.
Следовательно, знак $y$ будет совпадать со знаком $x$.
- Если $x > 0$, то $y > 0$. Это соответствует I четверти.
- Если $x < 0$, то $y < 0$. Это соответствует III четверти.
При $x=0$, $y=0$, точка $(0,0)$ лежит на осях.
Таким образом, график функции расположен в первой и третьей четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

5.99. Разложите на множители:

1) $a^2+4b^2-9c^2-4ab;$

2) $x^3+x^2-xy^2-y^2.$

1) a²+4b²-9c²-4ab;
Для разложения на множители данного выражения, перегруппируем его члены, чтобы выделить известные формулы сокращенного умножения. Заметим, что члены $a^2$, $4b^2$ и $-4ab$ могут быть объединены в полный квадрат.
$a^2+4b^2-9c^2-4ab = (a^2 - 4ab + 4b^2) - 9c^2$
Выражение в скобках, $a^2 - 4ab + 4b^2$, является квадратом разности. Воспользуемся формулой $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$.
$(a - 2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$
Таким образом, наше исходное выражение можно переписать в виде:
$(a - 2b)^2 - 9c^2$
Теперь мы получили разность квадратов, так как $9c^2 = (3c)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = (a - 2b)$ и $y = 3c$.
$(a - 2b)^2 - (3c)^2 = ((a - 2b) - 3c)((a - 2b) + 3c) = (a - 2b - 3c)(a - 2b + 3c)$
Ответ: $(a - 2b - 3c)(a - 2b + 3c)$

2) x³+x²-xy²-y².
Для разложения этого многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым.
$x^3+x^2-xy^2-y^2 = (x^3+x^2) + (-xy^2-y^2)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе это $x^2$, во второй — $-y^2$.
$x^2(x+1) - y^2(x+1)$
Мы получили выражение, в котором есть общий множитель $(x+1)$. Вынесем его за скобки.
$(x+1)(x^2-y^2)$
Заметим, что второй множитель $(x^2-y^2)$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(x^2-y^2) = (x-y)(x+y)$
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат разложения на множители.
$(x+1)(x-y)(x+y)$
Ответ: $(x+1)(x-y)(x+y)$