Номер 5.99, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.99. Разложите на множители:

1) $a^2+4b^2-9c^2-4ab;$

2) $x^3+x^2-xy^2-y^2.$

1) a²+4b²-9c²-4ab;
Для разложения на множители данного выражения, перегруппируем его члены, чтобы выделить известные формулы сокращенного умножения. Заметим, что члены $a^2$, $4b^2$ и $-4ab$ могут быть объединены в полный квадрат.
$a^2+4b^2-9c^2-4ab = (a^2 - 4ab + 4b^2) - 9c^2$
Выражение в скобках, $a^2 - 4ab + 4b^2$, является квадратом разности. Воспользуемся формулой $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$.
$(a - 2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$
Таким образом, наше исходное выражение можно переписать в виде:
$(a - 2b)^2 - 9c^2$
Теперь мы получили разность квадратов, так как $9c^2 = (3c)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = (a - 2b)$ и $y = 3c$.
$(a - 2b)^2 - (3c)^2 = ((a - 2b) - 3c)((a - 2b) + 3c) = (a - 2b - 3c)(a - 2b + 3c)$
Ответ: $(a - 2b - 3c)(a - 2b + 3c)$

2) x³+x²-xy²-y².
Для разложения этого многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым.
$x^3+x^2-xy^2-y^2 = (x^3+x^2) + (-xy^2-y^2)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе это $x^2$, во второй — $-y^2$.
$x^2(x+1) - y^2(x+1)$
Мы получили выражение, в котором есть общий множитель $(x+1)$. Вынесем его за скобки.
$(x+1)(x^2-y^2)$
Заметим, что второй множитель $(x^2-y^2)$ является разностью квадратов. Разложим его по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(x^2-y^2) = (x-y)(x+y)$
Подставив это в наше выражение, получаем окончательный результат разложения на множители.
$(x+1)(x-y)(x+y)$
Ответ: $(x+1)(x-y)(x+y)$