Номер 5.92, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.92. Докажите, что при каждом натуральном значении $n$ выражение:

1) $(2n+3)^3-(2n-1)^3+4$ делится на 16;

2) $(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3$ делится на 21.

1) Докажем, что выражение $(2n+3)^3-(2n-1)^3+4$ делится на 16 для любого натурального $n$.
Для этого упростим выражение, раскрыв скобки с помощью формул куба суммы и куба разности: $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.
$(2n+3)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2n \cdot 3^2 + 3^3 = 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27$.
$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(2n+3)^3 - (2n-1)^3 + 4 = (8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + 4$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 + 12n^2 - 6n + 1 + 4 = (36n^2+12n^2) + (54n-6n) + (27+1+4) = 48n^2 + 48n + 32$.
Вынесем общий множитель 16 за скобки:
$48n^2 + 48n + 32 = 16(3n^2 + 3n + 2)$.
Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $3n^2 + 3n + 2$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда представимо в виде произведения $16$ на целое число, а значит, оно делится на $16$ без остатка.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем, что выражение $(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3$ делится на 21 для любого натурального $n$.
Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения:
$(5n+1)^3 = (5n)^3 + 3 \cdot (5n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5n \cdot 1^2 + 1^3 = 125n^3 + 75n^2 + 15n + 1$.
$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(5n+1)^3+(2n-1)^3-7n^3 = (125n^3 + 75n^2 + 15n + 1) + (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 7n^3$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(125n^3+8n^3-7n^3) + (75n^2-12n^2) + (15n+6n) + (1-1) = 126n^3 + 63n^2 + 21n$.
Вынесем общий множитель 21 за скобки:
$126n^3 + 63n^2 + 21n = 21(6n^3 + 3n^2 + n)$.
Так как $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $6n^3 + 3n^2 + n$ является целым числом. Следовательно, исходное выражение всегда представимо в виде произведения $21$ на целое число, а значит, оно делится на $21$ без остатка.
Ответ: Что и требовалось доказать.