Номер 5.88, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.88. Разложите на множители:

1) $a^3+b^3-2ab(a+b)$;

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2)$;

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2$;

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2)$.

1) $a^3+b^3-2ab(a+b)$
Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Подставим это выражение в исходное:
$(a+b)(a^2-ab+b^2) - 2ab(a+b)$
Теперь мы видим общий множитель $(a+b)$, который можно вынести за скобки:
$(a+b)((a^2-ab+b^2) - 2ab)$
Упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые:
$(a+b)(a^2-ab+b^2-2ab) = (a+b)(a^2-3ab+b^2)$
Ответ: $(a+b)(a^2-3ab+b^2)$

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2)$
Применим формулу разности кубов: $m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
$(m-n)(m^2+mn+n^2) - 6m(m^2+mn+n^2)$
Вынесем общий множитель $(m^2+mn+n^2)$ за скобки:
$(m^2+mn+n^2)((m-n) - 6m)$
Упростим выражение во второй скобке:
$(m^2+mn+n^2)(m-n-6m) = (m^2+mn+n^2)(-5m-n)$
Для удобства вынесем знак минус из второй скобки:
$-(m^2+mn+n^2)(5m+n)$
Ответ: $-(5m+n)(m^2+mn+n^2)$

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2$
Сгруппируем слагаемые: $(x^3-y^3) + (8x^2y-8xy^2)$.
Разложим на множители каждую группу. Первую группу разложим по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $8xy$.
$(x-y)(x^2+xy+y^2) + 8xy(x-y)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x-y)$:
$(x-y)((x^2+xy+y^2) + 8xy)$
Упростим выражение во второй скобке, сложив подобные члены:
$(x-y)(x^2+xy+y^2+8xy) = (x-y)(x^2+9xy+y^2)$
Ответ: $(x-y)(x^2+9xy+y^2)$

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2)$
Воспользуемся формулой суммы кубов: $p^3+q^3 = (p+q)(p^2-pq+q^2)$.
$(p+q)(p^2-pq+q^2) - 2pq(p^2-pq+q^2)$
Вынесем общий множитель $(p^2-pq+q^2)$ за скобки:
$(p^2-pq+q^2)((p+q) - 2pq)$
Выражение во второй скобке $(p+q-2pq)$ дальнейшему упрощению не подлежит.
Ответ: $(p^2-pq+q^2)(p+q-2pq)$