Номер 5.87, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.87. Разложите на множители:

1) $(a+b)^3-(a-b)^3;$

2) $(2x+y)^3+(x-2y)^3;$

3) $(2mn-1)^3+1;$

4) $(3a-2b)^3+8b^3.$

1) Для разложения выражения $(a+b)^3 - (a-b)^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
В данном случае $x = a+b$, а $y = a-b$.
Найдём первый множитель $(x-y)$:
$x-y = (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b$.
Найдём второй множитель $(x^2+xy+y^2)$:
$x^2 = (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
$y^2 = (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$
$xy = (a+b)(a-b) = a^2-b^2$
Теперь сложим эти три выражения:
$x^2+xy+y^2 = (a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = 3a^2+b^2$.
Таким образом, исходное выражение равно произведению найденных множителей:
$(a+b)^3 - (a-b)^3 = (2b)(3a^2+b^2)$.
Ответ: $2b(3a^2+b^2)$.

2) Для разложения выражения $(2x+y)^3 + (x-2y)^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В данном случае $A = 2x+y$, а $B = x-2y$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (2x+y) + (x-2y) = 3x-y$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2$
$B^2 = (x-2y)^2 = x^2-4xy+4y^2$
$AB = (2x+y)(x-2y) = 2x^2 - 4xy + xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2$
Теперь подставим эти выражения в $A^2-AB+B^2$:
$(4x^2+4xy+y^2) - (2x^2-3xy-2y^2) + (x^2-4xy+4y^2) = 4x^2+4xy+y^2-2x^2+3xy+2y^2+x^2-4xy+4y^2 = 3x^2+3xy+7y^2$.
Таким образом, исходное выражение равно:
$(2x+y)^3 + (x-2y)^3 = (3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.
Ответ: $(3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.

3) Выражение $(2mn-1)^3 + 1$ можно представить как сумму кубов, так как $1 = 1^3$. Воспользуемся формулой $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
Здесь $A = 2mn-1$, а $B = 1$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (2mn-1) + 1 = 2mn$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (2mn-1)^2 = 4m^2n^2-4mn+1$
$B^2 = 1^2 = 1$
$AB = (2mn-1) \cdot 1 = 2mn-1$
Подставим в выражение для второго множителя:
$A^2-AB+B^2 = (4m^2n^2-4mn+1) - (2mn-1) + 1 = 4m^2n^2-4mn+1-2mn+1+1 = 4m^2n^2-6mn+3$.
Следовательно, разложение на множители имеет вид:
$(2mn-1)^3 + 1 = 2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.
Ответ: $2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.

4) Выражение $(3a-2b)^3 + 8b^3$ можно представить как сумму кубов, так как $8b^3 = (2b)^3$. Применим формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
В этом случае $A = 3a-2b$, а $B = 2b$.
Найдём первый множитель $(A+B)$:
$A+B = (3a-2b) + 2b = 3a$.
Найдём второй множитель $(A^2-AB+B^2)$:
$A^2 = (3a-2b)^2 = 9a^2-12ab+4b^2$
$B^2 = (2b)^2 = 4b^2$
$AB = (3a-2b)(2b) = 6ab-4b^2$
Подставим найденные части во второй множитель:
$A^2-AB+B^2 = (9a^2-12ab+4b^2) - (6ab-4b^2) + 4b^2 = 9a^2-12ab+4b^2-6ab+4b^2+4b^2 = 9a^2-18ab+12b^2$.
Во втором множителе можно вынести общий множитель 3 за скобки: $3(3a^2-6ab+4b^2)$.
Тогда итоговое разложение будет:
$(3a) \cdot (9a^2-18ab+12b^2) = (3a) \cdot 3(3a^2-6ab+4b^2) = 9a(3a^2-6ab+4b^2)$.
Ответ: $9a(3a^2-6ab+4b^2)$.