Номер 5.91, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.91. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^3+8b^3$;

2) $27-(x-2)^3$;

3) $(m+1)^3+64$.

1) Для разложения выражения $(a-2b)^3+8b^3$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Сначала представим исходное выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $8b^3 = (2b)^3$. Таким образом, получаем:

$(a-2b)^3+8b^3 = (a-2b)^3+(2b)^3$.

Теперь мы можем применить формулу, где $x = a-2b$ и $y = 2b$:

$((a-2b)+2b)((a-2b)^2-(a-2b)(2b)+(2b)^2)$

Упростим выражение в первой скобке:

$(a-2b)+2b = a$.

Теперь упростим выражение во второй скобке. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(a-2b)^2-(a-2b)(2b)+(2b)^2 = (a^2-4ab+4b^2) - (2ab-4b^2) + 4b^2 = a^2-4ab+4b^2-2ab+4b^2+4b^2 = a^2-6ab+12b^2$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$a(a^2-6ab+12b^2)$.

Ответ: $a(a^2-6ab+12b^2)$.

2) Для разложения выражения $27-(x-2)^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде разности кубов. Заметим, что $27 = 3^3$. Таким образом, получаем:

$27-(x-2)^3 = 3^3-(x-2)^3$.

Применим формулу, где $x = 3$ и $y = x-2$:

$(3-(x-2))(3^2+3(x-2)+(x-2)^2)$.

Упростим выражение в первой скобке:

$3-(x-2) = 3-x+2 = 5-x$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$3^2+3(x-2)+(x-2)^2 = 9 + (3x-6) + (x^2-4x+4) = 9+3x-6+x^2-4x+4 = x^2-x+7$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$(5-x)(x^2-x+7)$.

Ответ: $(5-x)(x^2-x+7)$.

3) Для разложения выражения $(m+1)^3+64$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $64 = 4^3$. Таким образом, получаем:

$(m+1)^3+64 = (m+1)^3+4^3$.

Применим формулу, где $x = m+1$ и $y = 4$:

$((m+1)+4)((m+1)^2-(m+1)(4)+4^2)$.

Упростим выражение в первой скобке:

$(m+1)+4 = m+5$.

Теперь упростим выражение во второй скобке:

$(m+1)^2-(m+1)(4)+4^2 = (m^2+2m+1) - (4m+4) + 16 = m^2+2m+1-4m-4+16 = m^2-2m+13$.

Объединив упрощенные части, получаем итоговый результат:

$(m+5)(m^2-2m+13)$.

Ответ: $(m+5)(m^2-2m+13)$.