Номер 5.80, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.80. Запишите выражение в виде произведения:

1) $a^3+b^6$;

2) $x^9-y^3$;

3) $x^6+y^6$;

4) $x^6+y^3$;

5) $p^3-q^9$;

6) $m^9-n^9$.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

1) Чтобы представить выражение $a^3+b^6$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $b^6$ как $(b^2)^3$.
Выражение принимает вид: $a^3 + (b^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где в качестве первого слагаемого выступает $a$, а в качестве второго — $b^2$.
$a^3 + (b^2)^3 = (a+b^2)(a^2 - a \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.
Ответ: $(a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.

2) Чтобы представить выражение $x^9-y^3$ в виде произведения, представим его как разность кубов. Для этого перепишем $x^9$ как $(x^3)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^3)^3 - y^3$.
Применим формулу разности кубов, где уменьшаемое — $x^3$, а вычитаемое — $y$.
$(x^3)^3 - y^3 = (x^3-y)((x^3)^2 + x^3 \cdot y + y^2) = (x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.
Ответ: $(x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.

3) Чтобы представить выражение $x^6+y^6$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $x^6$ как $(x^2)^3$ и $y^6$ как $(y^2)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где первое слагаемое — $x^2$, а второе — $y^2$.
$(x^2)^3 + (y^2)^3 = (x^2+y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.

4) Чтобы представить выражение $x^6+y^3$ в виде произведения, представим его как сумму кубов. Для этого перепишем $x^6$ как $(x^2)^3$.
Выражение принимает вид: $(x^2)^3 + y^3$.
Применим формулу суммы кубов, где первое слагаемое — $x^2$, а второе — $y$.
$(x^2)^3 + y^3 = (x^2+y)((x^2)^2 - x^2 \cdot y + y^2) = (x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.
Ответ: $(x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.

5) Чтобы представить выражение $p^3-q^9$ в виде произведения, представим его как разность кубов. Для этого перепишем $q^9$ как $(q^3)^3$.
Выражение принимает вид: $p^3 - (q^3)^3$.
Применим формулу разности кубов, где уменьшаемое — $p$, а вычитаемое — $q^3$.
$p^3 - (q^3)^3 = (p-q^3)(p^2 + p \cdot q^3 + (q^3)^2) = (p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.
Ответ: $(p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.

6) Выражение $m^9-n^9$ можно представить как разность кубов. Перепишем его в виде $(m^3)^3 - (n^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=m^3$ и $y=n^3$.
$(m^3)^3 - (n^3)^3 = (m^3-n^3)((m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2) = (m^3-n^3)(m^6+m^3n^3+n^6)$.
Заметим, что первый множитель $m^3-n^3$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше по той же формуле.
$m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.
Подставив это в наше выражение, получим окончательное разложение на множители:
$(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.
Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.