Номер 5.74, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.74. Запишите выражение в виде произведения:

1) $-a^3+b^3;$

2) $-a^6+\frac{1}{8};$

3) $x^6+27;$

4) $-64-y^3;$

5) $-\frac{b^3}{27}-1;$

6) $m^6+n^6.$

1) Чтобы записать выражение $-a^3+b^3$ в виде произведения, поменяем слагаемые местами, чтобы получить более привычный вид: $b^3-a^3$. Это выражение является разностью кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. В нашем случае $x=b$ и $y=a$.
Подставляем наши значения в формулу:
$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2)$.
Для стандартного вида упорядочим переменные во второй скобке: $(b-a)(a^2+ab+b^2)$.
Ответ: $(b-a)(a^2+ab+b^2)$.

2) Перепишем выражение $-a^6 + \frac{1}{8}$ в виде $\frac{1}{8} - a^6$. Это выражение можно представить как разность кубов. Для этого заметим, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$.
Таким образом, мы получаем выражение $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=\frac{1}{2}$ и $y=a^2$:
$(\frac{1}{2}-a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$.

3) Выражение $x^6+27$ представляет собой сумму. Мы можем представить его как сумму кубов, так как $x^6 = (x^2)^3$ и $27 = 3^3$.
Таким образом, выражение преобразуется в $(x^2)^3+3^3$.
Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x^2$ и $b=3$:
$(x^2+3)((x^2)^2 - x^2 \cdot 3 + 3^2) = (x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.
Ответ: $(x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.

4) В выражении $-64-y^3$ вынесем знак минус за скобки: $-(64+y^3)$.
Теперь выражение в скобках, $64+y^3$, является суммой кубов, поскольку $64=4^3$.
Получаем $-(4^3+y^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=4$ и $b=y$:
$-(4+y)(4^2-4y+y^2) = -(4+y)(16-4y+y^2)$.
Упорядочим слагаемые для стандартного вида: $-(y+4)(y^2-4y+16)$.
Ответ: $-(y+4)(y^2-4y+16)$.

5) В выражении $-\frac{b^3}{27} - 1$ вынесем общий множитель -1 за скобки: $-(\frac{b^3}{27} + 1)$.
Выражение в скобках является суммой кубов, так как $\frac{b^3}{27}=(\frac{b}{3})^3$ и $1=1^3$.
Получаем выражение $-((\frac{b}{3})^3+1^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=\frac{b}{3}$ и $b=1$:
$-(\frac{b}{3}+1)((\frac{b}{3})^2-\frac{b}{3} \cdot 1+1^2) = -(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.
Ответ: $-(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.

6) Выражение $m^6+n^6$ можно представить как сумму кубов. Для этого запишем $m^6=(m^2)^3$ и $n^6=(n^2)^3$.
Тогда исходное выражение примет вид $(m^2)^3+(n^2)^3$.
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=m^2$ и $b=n^2$:
$(m^2+n^2)((m^2)^2 - m^2n^2 + (n^2)^2) = (m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.
Ответ: $(m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.