Вопросы, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.3. Сумма и разность кубов двух выражений. Раздел 5. Формулы сокращенного умножения - страница 147.

Условие (рус).

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

5. Докажите формулы (5) и (6).

Условие (КЗ).

Решение.

Решение 2.

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

Формула для разложения на множители суммы кубов двух произвольных выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

Это правило является словесным выражением формулы суммы кубов.

Ответ: Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

Формула для разложения на множители разности кубов двух произвольных выражений $a$ и $b$ выглядит следующим образом.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

Это правило является словесным выражением формулы разности кубов.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

5. Докажите формулы (5) и (6).

Предположим, что под формулой (5) имеется в виду формула суммы кубов, а под формулой (6) — формула разности кубов. Для доказательства этих тождеств достаточно раскрыть скобки в их правых частях и убедиться, что полученные выражения равны левым частям.

Доказательство формулы (5) — суммы кубов:
Необходимо доказать, что $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.
Выполним умножение многочленов в левой части:
$(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$.
Левая часть равна правой, следовательно, формула верна.

Доказательство формулы (6) — разности кубов:
Необходимо доказать, что $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.
Выполним умножение многочленов в левой части:
$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$.
Левая часть равна правой, следовательно, формула верна.

Ответ: Доказательство обеих формул основано на тождественном преобразовании их правых частей. Путем раскрытия скобок и приведения подобных членов правая часть каждой формулы приводится к виду, идентичному ее левой части, что подтверждает верность равенств.