Номер 5.70, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.70. Разложите на множители:

1) $12a^3x-36a^2bx+27ab^2x$;

2) $2a^2b^3-28ab^2+98b$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x$, первым шагом вынесем за скобки общий множитель.
Находим наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12, 36 и 27. НОД(12, 36, 27) = 3.
Находим общие переменные в наименьшей степени. Для $a$ это $a^1=a$, для $b$ общего множителя нет, для $x$ это $x^1=x$.
Таким образом, общий множитель для всех членов выражения - это $3ax$.
Выносим $3ax$ за скобки:
$12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x = 3ax(4a^2 - 12ab + 9b^2)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$. Это выражение является полным квадратом разности, который можно представить с помощью формулы сокращенного умножения: $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
В нашем случае:
$m^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $m=2a$.
$n^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $n=3b$.
Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (2a) \cdot (3b) = 12ab$.
Следовательно, выражение в скобках можно свернуть в квадрат разности:
$4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.
Подставим это обратно в наше разложение:
$3ax(2a - 3b)^2$.
Ответ: $3ax(2a-3b)^2$.

2) Разложим на множители выражение $2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b$.
Сначала вынесем за скобки общий множитель.
НОД для коэффициентов 2, 28 и 98 равен 2.
Общая переменная в наименьшей степени - это $b$.
Значит, общий множитель равен $2b$.
Выносим $2b$ за скобки:
$2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b = 2b(a^2b^2 - 14ab + 49)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $a^2b^2 - 14ab + 49$. Оно также является полным квадратом разности по формуле $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
В данном случае:
$m^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, значит $m=ab$.
$n^2 = 49 = 7^2$, значит $n=7$.
Проверим средний член: $2mn = 2 \cdot (ab) \cdot 7 = 14ab$.
Таким образом, выражение в скобках сворачивается в:
$a^2b^2 - 14ab + 49 = (ab - 7)^2$.
Окончательный вид разложения на множители:
$2b(ab - 7)^2$.
Ответ: $2b(ab-7)^2$.