Номер 5.64, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.64. Решите уравнение:

1) $x^3-6x^2=6-x$;

2) $y^3+3y^2-4y-12=0$;

3) $2x^3-x^2-18x+9=0$;

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0$;

5) $2x^3-x^2-32x+16=0$;

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79$.

1) $x^3-6x^2=6-x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $P(x)=0$:
$x^3-6x^2+x-6=0$
Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:
$(x^3-6x^2)+(x-6)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(x-6)+1(x-6)=0$
Теперь вынесем общий множитель $(x-6)$ за скобки:
$(x-6)(x^2+1)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $x-6=0 \implies x=6$
2. $x^2+1=0 \implies x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, уравнение имеет один действительный корень.

Ответ: $6$

2) $y^3+3y^2-4y-12=0$

Сгруппируем члены уравнения для разложения на множители:
$(y^3+3y^2)-(4y+12)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$y^2(y+3)-4(y+3)=0$
Вынесем общий множитель $(y+3)$ за скобки:
$(y+3)(y^2-4)=0$
Выражение $y^2-4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(y-2)(y+2)$.
$(y+3)(y-2)(y+2)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти корни:
1. $y+3=0 \implies y_1=-3$
2. $y-2=0 \implies y_2=2$
3. $y+2=0 \implies y_3=-2$

Ответ: $-3; -2; 2$

3) $2x^3-x^2-18x+9=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2x^3-x^2)-(18x-9)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(2x-1)-9(2x-1)=0$
Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:
$(2x-1)(x^2-9)=0$
Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов: $(x-3)(x+3)$.
$(2x-1)(x-3)(x+3)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=\frac{1}{2}$
2. $x-3=0 \implies x_2=3$
3. $x+3=0 \implies x_3=-3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(4y^3-3y^2)-(4y-3)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$y^2(4y-3)-1(4y-3)=0$
Вынесем общий множитель $(4y-3)$ за скобки:
$(4y-3)(y^2-1)=0$
Выражение $y^2-1$ является разностью квадратов: $(y-1)(y+1)$.
$(4y-3)(y-1)(y+1)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $4y-3=0 \implies 4y=3 \implies y_1=\frac{3}{4}$
2. $y-1=0 \implies y_2=1$
3. $y+1=0 \implies y_3=-1$

Ответ: $-1; \frac{3}{4}; 1$

5) $2x^3-x^2-32x+16=0$

Сгруппируем члены уравнения:
$(2x^3-x^2)-(32x-16)=0$
Вынесем общий множитель из каждой группы:
$x^2(2x-1)-16(2x-1)=0$
Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки:
$(2x-1)(x^2-16)=0$
Выражение $x^2-16$ является разностью квадратов: $(x-4)(x+4)$.
$(2x-1)(x-4)(x+4)=0$
Найдем корни, приравняв каждый множитель к нулю:
1. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=\frac{1}{2}$
2. $x-4=0 \implies x_2=4$
3. $x+4=0 \implies x_3=-4$

Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4$

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$(y^2+2 \cdot y \cdot 6 + 6^2) - (y^2-5^2)=79$
$(y^2+12y+36) - (y^2-25)=79$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$y^2+12y+36-y^2+25=79$
Приведем подобные слагаемые. $y^2$ и $-y^2$ взаимно уничтожаются.
$12y+61=79$
Перенесем 61 в правую часть уравнения:
$12y=79-61$
$12y=18$
Найдем $y$:
$y=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}=1.5$

Ответ: $1.5$