Номер 5.57, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.57. Представьте разность квадратов двух выражений в виде произведения:

1) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$;

2) $(x+y)^2-(y-z)^2$;

3) $(p+q)^2-(p-q)^2$;

4) $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$.

Для решения всех пунктов задачи используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

1) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$

В этом выражении $A = (2a+b)$ и $B = (a-2b)$. Применим формулу разности квадратов:
$(2a+b)^2-(a-2b)^2 = ((2a+b) - (a-2b)) \cdot ((2a+b) + (a-2b))$
Упростим каждое выражение в скобках:
$(2a+b) - (a-2b) = 2a+b-a+2b = (2a-a) + (b+2b) = a+3b$
$(2a+b) + (a-2b) = 2a+b+a-2b = (2a+a) + (b-2b) = 3a-b$
Таким образом, исходное выражение равно произведению:
$(a+3b)(3a-b)$

Ответ: $(a+3b)(3a-b)$

2) $(x+y)^2-(y-z)^2$

Здесь $A = (x+y)$ и $B = (y-z)$. По формуле разности квадратов:
$(x+y)^2-(y-z)^2 = ((x+y) - (y-z)) \cdot ((x+y) + (y-z))$
Упростим выражения в скобках:
$(x+y) - (y-z) = x+y-y+z = x+z$
$(x+y) + (y-z) = x+y+y-z = x+2y-z$
В результате получаем произведение:
$(x+z)(x+2y-z)$

Ответ: $(x+z)(x+2y-z)$

3) $(p+q)^2-(p-q)^2$

В данном случае $A = (p+q)$ и $B = (p-q)$. Используем ту же формулу:
$(p+q)^2-(p-q)^2 = ((p+q) - (p-q)) \cdot ((p+q) + (p-q))$
Упрощаем скобки:
$(p+q) - (p-q) = p+q-p+q = 2q$
$(p+q) + (p-q) = p+q+p-q = 2p$
Перемножим полученные выражения:
$(2q) \cdot (2p) = 4pq$

Ответ: $4pq$

4) $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$

Здесь $A = (4a-b)$ и $B = (2a+3b)$. По формуле разности квадратов:
$(4a-b)^2-(2a+3b)^2 = ((4a-b) - (2a+3b)) \cdot ((4a-b) + (2a+3b))$
Упрощаем выражения в скобках:
$(4a-b) - (2a+3b) = 4a-b-2a-3b = (4a-2a) + (-b-3b) = 2a-4b$
$(4a-b) + (2a+3b) = 4a-b+2a+3b = (4a+2a) + (-b+3b) = 6a+2b$
Получаем произведение $(2a-4b)(6a+2b)$. Вынесем общие множители из каждой скобки:
$2a-4b = 2(a-2b)$
$6a+2b = 2(3a+b)$
Тогда итоговое произведение:
$2(a-2b) \cdot 2(3a+b) = 4(a-2b)(3a+b)$

Ответ: $4(a-2b)(3a+b)$