Номер 5.53, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.53. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(a+2)^2-1;$

2) $16-(x+y)^2;$

3) $(5y-6)^2-49;$

4) $(m-7)^2-64;$

5) $16a^2-(4a+6)^2;$

6) $x^6-(2y^2-x^3)^2.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Представим выражение $(a+2)^2 - 1$ в виде разности квадратов, учитывая, что $1 = 1^2$.

В данном случае $a$ из формулы равно $(a+2)$, а $b$ равно $1$.

$(a+2)^2 - 1^2 = ((a+2)-1)((a+2)+1)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(a+2-1)(a+2+1) = (a+1)(a+3)$

Ответ: $(a+1)(a+3)$.

2) Представим выражение $16 - (x+y)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $16 = 4^2$.

Здесь $a = 4$ и $b = (x+y)$.

$4^2 - (x+y)^2 = (4-(x+y))(4+(x+y))$

Раскроем внутренние скобки:

$(4-x-y)(4+x+y)$

Ответ: $(4-x-y)(4+x+y)$.

3) Представим выражение $(5y-6)^2 - 49$ в виде разности квадратов. Заметим, что $49 = 7^2$.

Здесь $a = (5y-6)$ и $b = 7$.

$(5y-6)^2 - 7^2 = ((5y-6)-7)((5y-6)+7)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(5y-6-7)(5y-6+7) = (5y-13)(5y+1)$

Ответ: $(5y-13)(5y+1)$.

4) Представим выражение $(m-7)^2 - 64$ в виде разности квадратов. Заметим, что $64 = 8^2$.

В этом случае $a = (m-7)$ и $b = 8$.

$(m-7)^2 - 8^2 = ((m-7)-8)((m-7)+8)$

Упростим выражения в скобках:

$(m-7-8)(m-7+8) = (m-15)(m+1)$

Ответ: $(m-15)(m+1)$.

5) Представим выражение $16a^2 - (4a+6)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $16a^2 = (4a)^2$.

Здесь $a$ из формулы равно $4a$, а $b$ равно $(4a+6)$.

$(4a)^2 - (4a+6)^2 = (4a-(4a+6))(4a+(4a+6))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(4a-4a-6)(4a+4a+6) = (-6)(8a+6)$

Вынесем общий множитель $2$ из второй скобки, чтобы упростить выражение:

$-6 \cdot 2(4a+3) = -12(4a+3)$

Ответ: $-12(4a+3)$.

6) Представим выражение $x^6 - (2y^2-x^3)^2$ в виде разности квадратов. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$.

Здесь $a = x^3$ и $b = (2y^2-x^3)$.

$(x^3)^2 - (2y^2-x^3)^2 = (x^3-(2y^2-x^3))(x^3+(2y^2-x^3))$

Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:

$(x^3-2y^2+x^3)(x^3+2y^2-x^3) = (2x^3-2y^2)(2y^2)$

Вынесем общий множитель $2$ из первой скобки:

$2(x^3-y^2)(2y^2) = 4y^2(x^3-y^2)$

Ответ: $4y^2(x^3-y^2)$.