Номер 5.55, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Вычислите:

1) $2,1 \cdot 1,9$;

2) $4,02 \cdot 3,98$;

3) $19,8 \cdot 20,2$;

4) $1,05 \cdot 0,95$;

5) $\left(3\frac{2}{3}\right)^2 - \left(2\frac{1}{3}\right)^2$;

6) $\left(4\frac{1}{6}\right)^2 - \left(1\frac{1}{6}\right)^2$;

7) $\left(5\frac{2}{3}\right)^2 - \left(4\frac{1}{3}\right)^2$;

8) $21,3^2 - 21,2^2$.

1) Для вычисления произведения $2,1 \cdot 1,9$ удобно использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Для этого представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа. Среднее арифметическое чисел $2,1$ и $1,9$ равно $(2,1+1,9)/2 = 2$. Тогда $2,1 = 2 + 0,1$, а $1,9 = 2 - 0,1$.
$2,1 \cdot 1,9 = (2 + 0,1)(2 - 0,1) = 2^2 - 0,1^2 = 4 - 0,01 = 3,99$.
Ответ: $3,99$.

2) Для вычисления произведения $4,02 \cdot 3,98$ применим формулу разности квадратов. Представим множители в виде суммы и разности: $4,02 = 4 + 0,02$ и $3,98 = 4 - 0,02$.
$4,02 \cdot 3,98 = (4 + 0,02)(4 - 0,02) = 4^2 - 0,02^2 = 16 - 0,0004 = 15,9996$.
Ответ: $15,9996$.

3) Для вычисления произведения $19,8 \cdot 20,2$ используем тот же подход. Представим $19,8 = 20 - 0,2$ и $20,2 = 20 + 0,2$.
$19,8 \cdot 20,2 = (20 - 0,2)(20 + 0,2) = 20^2 - 0,2^2 = 400 - 0,04 = 399,96$.
Ответ: $399,96$.

4) Для вычисления произведения $1,05 \cdot 0,95$ представим множители в виде $1,05 = 1 + 0,05$ и $0,95 = 1 - 0,05$.
$1,05 \cdot 0,95 = (1 + 0,05)(1 - 0,05) = 1^2 - 0,05^2 = 1 - 0,0025 = 0,9975$.
Ответ: $0,9975$.

5) В данном выражении $(3\frac{2}{3})^2 - (2\frac{1}{3})^2$ мы видим разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3\frac{2}{3}$ и $b = 2\frac{1}{3}$.
Вычислим разность и сумму:
$a - b = 3\frac{2}{3} - 2\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$
$a + b = 3\frac{2}{3} + 2\frac{1}{3} = 5\frac{3}{3} = 6$
Теперь перемножим полученные значения:
$(1\frac{1}{3}) \cdot 6 = \frac{4}{3} \cdot 6 = \frac{4 \cdot 6}{3} = 4 \cdot 2 = 8$.
Ответ: $8$.

6) Выражение $(4\frac{1}{6})^2 - (1\frac{1}{6})^2$ также является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4\frac{1}{6}$ и $b = 1\frac{1}{6}$.
$a - b = 4\frac{1}{6} - 1\frac{1}{6} = 3$
$a + b = 4\frac{1}{6} + 1\frac{1}{6} = 5\frac{2}{6} = 5\frac{1}{3}$
Перемножим результаты:
$3 \cdot 5\frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{16}{3} = 16$.
Ответ: $16$.

7) Для выражения $(5\frac{2}{3})^2 - (4\frac{1}{3})^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 5\frac{2}{3}$ и $b = 4\frac{1}{3}$.
$a - b = 5\frac{2}{3} - 4\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$
$a + b = 5\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} = 9\frac{3}{3} = 10$
Перемножим полученные значения:
$1\frac{1}{3} \cdot 10 = \frac{4}{3} \cdot 10 = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3}$.
Ответ: $13\frac{1}{3}$.

8) Выражение $21,3^2 - 21,2^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 21,3$ и $b = 21,2$.
$a - b = 21,3 - 21,2 = 0,1$
$a + b = 21,3 + 21,2 = 42,5$
Перемножим результаты:
$0,1 \cdot 42,5 = 4,25$.
Ответ: $4,25$.