Номер 5.62, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.62. Представьте в виде произведения:

1) $16a^{17}-a^{15};$

2) $m^{20}-\frac{16}{49}m^{18};$

3) $x^6-16x^2;$

4) $y^7-1\frac{7}{9}y^5.$

1) Чтобы представить выражение $16a^{17}-a^{15}$ в виде произведения, необходимо вынести за скобки общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $a$ в наименьшей степени, то есть $a^{15}$.
Выносим $a^{15}$ за скобки:
$16a^{17}-a^{15} = a^{15}(16a^{17-15} - a^{15-15}) = a^{15}(16a^2 - 1)$.
Выражение в скобках $16a^2 - 1$ представляет собой разность квадратов, так как $16a^2 = (4a)^2$ и $1 = 1^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$(4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$.
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители следующим образом:
Ответ: $a^{15}(4a - 1)(4a + 1)$.

2) В выражении $m^{20} - \frac{16}{49}m^{18}$ найдем общий множитель. Это $m^{18}$.
Вынесем $m^{18}$ за скобки:
$m^{20} - \frac{16}{49}m^{18} = m^{18}(m^{20-18} - \frac{16}{49}m^{18-18}) = m^{18}(m^2 - \frac{16}{49})$.
Выражение в скобках $m^2 - \frac{16}{49}$ является разностью квадратов, поскольку $m^2 = (m)^2$ и $\frac{16}{49} = (\frac{4}{7})^2$.
Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, получаем:
$m^2 - (\frac{4}{7})^2 = (m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.
Итоговое произведение:
Ответ: $m^{18}(m - \frac{4}{7})(m + \frac{4}{7})$.

3) Для выражения $x^6 - 16x^2$ общим множителем является $x^2$.
Выносим $x^2$ за скобки:
$x^6 - 16x^2 = x^2(x^{6-2} - 16) = x^2(x^4 - 16)$.
Выражение в скобках $x^4 - 16$ является разностью квадратов, где $x^4 = (x^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Раскладываем по формуле разности квадратов:
$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.
Первый множитель $x^2 - 4$ также является разностью квадратов, где $x^2=(x)^2$ и $4=2^2$. Его тоже можно разложить:
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Второй множитель $x^2 + 4$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Собираем все множители вместе:
Ответ: $x^2(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$.

4) В выражении $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$ сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Теперь выражение выглядит так: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.
Общий множитель здесь $y^5$. Вынесем его за скобки:
$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$.
Выражение в скобках $y^2 - \frac{16}{9}$ является разностью квадратов, так как $y^2=(y)^2$ и $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$.
Раскладываем по формуле разности квадратов:
$y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.
Окончательный вид произведения:
Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$.