Страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.174. Расстояние между населенными пунктами А и В по течению реки катер прошел за 5 ч 30 мин, а плот – за 71 ч 30 мин. Катер вернулся обратно за 6 ч 30 мин. Каково расстояние между населенными пунктами А и В?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – искомое расстояние между населенными пунктами А и В (в км).
• $v_к$ – собственная скорость катера (в км/ч).
• $v_р$ – скорость течения реки (в км/ч).

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $v_р$.

Скорость катера по течению реки равна $v_к + v_р$.

Скорость катера против течения реки равна $v_к - v_р$.

Переведем время в часы:

• Время движения катера по течению: 5 ч 30 мин = $5.5$ ч.
• Время движения плота по течению: 71 ч 30 мин = $71.5$ ч.
• Время движения катера против течения: 6 ч 30 мин = $6.5$ ч.

На основе этих данных составим систему уравнений, используя формулу расстояния $S = v \cdot t$:

1. $S = (v_к + v_р) \cdot 5.5$
2. $S = v_р \cdot 71.5$
3. $S = (v_к - v_р) \cdot 6.5$

Из первого и третьего уравнений выразим скорости движения катера по течению и против течения:

$v_к + v_р = \frac{S}{5.5}$

$v_к - v_р = \frac{S}{6.5}$

Теперь найдем соотношение между собственной скоростью катера и скоростью течения реки. Для этого разделим одно выражение на другое. Сначала сложим их, а затем вычтем одно из другого:

$(v_к + v_р) + (v_к - v_р) = \frac{S}{5.5} + \frac{S}{6.5} \implies 2v_к = S(\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5})$

$(v_к + v_р) - (v_к - v_р) = \frac{S}{5.5} - \frac{S}{6.5} \implies 2v_р = S(\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5})$

Разделим первое полученное уравнение на второе:

$\frac{2v_к}{2v_р} = \frac{S(\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5})}{S(\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5})}$

$\frac{v_к}{v_р} = \frac{\frac{1}{5.5} + \frac{1}{6.5}}{\frac{1}{5.5} - \frac{1}{6.5}} = \frac{\frac{2}{11} + \frac{2}{13}}{\frac{2}{11} - \frac{2}{13}} = \frac{\frac{2(13+11)}{11 \cdot 13}}{\frac{2(13-11)}{11 \cdot 13}} = \frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, мы выяснили, что собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки: $v_к = 12v_р$.

Теперь подставим это соотношение в уравнения для расстояния $S$.

Используем первое уравнение (движение катера по течению):

$S = (v_к + v_р) \cdot 5.5 = (12v_р + v_р) \cdot 5.5 = 13v_р \cdot 5.5 = 71.5 v_р$

Теперь проверим это с помощью третьего уравнения (движение катера против течения):

$S = (v_к - v_р) \cdot 6.5 = (12v_р - v_р) \cdot 6.5 = 11v_р \cdot 6.5 = 71.5 v_р$

И, наконец, посмотрим на второе уравнение (движение плота):

$S = v_р \cdot 71.5$

Все три условия задачи приводят к одному и тому же уравнению: $S = 71.5 v_р$. Это уравнение содержит две неизвестные величины: расстояние $S$ и скорость течения реки $v_р$. Поскольку в задаче не дано никаких дополнительных данных, которые позволили бы определить скорость течения реки, найти единственное численное значение для расстояния $S$ невозможно. Данные в задаче являются зависимыми (время движения плота можно вычислить, зная время движения катера, и наоборот), что не позволяет составить систему с единственным решением относительно $S$.

Ответ: На основании предоставленных данных однозначно определить расстояние между населенными пунктами А и В невозможно.

5.175. Из смеси двух видов сухофруктов готовят компот. Стоимость 1 кг первого вида сухофруктов 400 тг, а второго вида – 530 тг. Какими должны быть доли каждого вида сухофруктов, взятого для приготовления компота, чтобы стоимость 1 кг последней смеси не превышала 450 тг?

Для решения этой задачи определим доли каждого вида сухофруктов в смеси. Пусть общая масса смеси составляет 1 кг.

Обозначим за $x$ долю (массовую часть) первого вида сухофруктов, стоимость которого 400 тг за кг. Поскольку общая доля всех компонентов в смеси равна 1, доля второго вида сухофруктов, стоимость которого 530 тг за кг, будет равна $(1 - x)$.

Доля каждого компонента не может быть отрицательной или превышать 1, поэтому должны выполняться условия: $0 \le x \le 1$ и $0 \le (1-x) \le 1$, что равносильно $0 \le x \le 1$.

Стоимость 1 кг смеси определяется как сумма произведений стоимости каждого вида сухофруктов на его долю в смеси: $C = 400 \cdot x + 530 \cdot (1 - x)$

По условию задачи, стоимость 1 кг смеси не должна превышать 450 тг. Составим и решим соответствующее неравенство: $400x + 530(1 - x) \le 450$

Раскроем скобки и упростим выражение: $400x + 530 - 530x \le 450$

Приведем подобные слагаемые: $530 - 130x \le 450$

Перенесем 530 в правую часть неравенства: $-130x \le 450 - 530$ $-130x \le -80$

Разделим обе части неравенства на -130. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x \ge \frac{-80}{-130}$ $x \ge \frac{8}{13}$

Это означает, что доля первого вида сухофруктов (стоимостью 400 тг) должна быть не меньше $\frac{8}{13}$. Учитывая, что $x \le 1$, получаем диапазон для доли первого вида: $\frac{8}{13} \le x \le 1$.

Теперь найдем, какой должна быть доля второго вида сухофруктов, равная $(1 - x)$. Если $x \ge \frac{8}{13}$, то $-x \le -\frac{8}{13}$. Прибавив 1 к обеим частям, получим: $1 - x \le 1 - \frac{8}{13}$ $1 - x \le \frac{5}{13}$

Поскольку доля второго вида не может быть отрицательной, ее диапазон: $0 \le (1-x) \le \frac{5}{13}$.

Ответ: Доля первого вида сухофруктов (стоимостью 400 тг/кг) должна быть в пределах от $\frac{8}{13}$ до 1 включительно, а доля второго вида сухофруктов (стоимостью 530 тг/кг) — от 0 до $\frac{5}{13}$ включительно.

5.176. Междугородный автобус первый час шел со средней скоростью 70 км/ч. Водитель подсчитал, что если он продолжит движение с этой же скоростью, то он отстанет от графика на полчаса. Поэтому он увеличил скорость на 10 км/ч и прибыл в пункт назначения вовремя. Какое расстояние прошел автобус?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_1 = 70$ км/ч – начальная средняя скорость автобуса.
$t_1 = 1$ ч – время движения с начальной скоростью.
$S_{общ}$ – общее расстояние, которое должен был проехать автобус.
$S_1$ – расстояние, пройденное за первый час.
$S_{ост}$ – оставшееся расстояние после первого часа движения.
$T_{ост\_план}$ – плановое время на преодоление оставшегося расстояния.

Сначала найдем расстояние, которое автобус проехал за первый час:
$S_1 = v_1 \times t_1 = 70 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 70 \text{ км}$.

Оставшаяся часть пути равна $S_{ост} = S_{общ} - 70$.

Из условия известно, что если бы автобус продолжал ехать с той же скоростью $v_1 = 70$ км/ч, он бы опоздал на полчаса (0,5 ч). Это означает, что время, затраченное на оставшийся путь, было бы на 0,5 часа больше, чем было запланировано по графику. Составим первое уравнение:
$\frac{S_{ост}}{70} = T_{ост\_план} + 0.5$

Чтобы приехать вовремя, водитель увеличил скорость на 10 км/ч. Новая скорость $v_2$ составила:
$v_2 = v_1 + 10 = 70 + 10 = 80$ км/ч.
С этой скоростью автобус преодолел оставшееся расстояние $S_{ост}$ и уложился в график, то есть затратил ровно плановое время $T_{ост\_план}$. Составим второе уравнение:
$\frac{S_{ост}}{80} = T_{ост\_план}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $T_{ост\_план}$ из второго уравнения в первое:
$\frac{S_{ост}}{70} = \frac{S_{ост}}{80} + 0.5$

Решим это уравнение относительно $S_{ост}$. Перенесем все члены с $S_{ост}$ в левую часть:
$\frac{S_{ост}}{70} - \frac{S_{ост}}{80} = 0.5$
Вынесем $S_{ост}$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю (560):
$S_{ост} \left( \frac{1}{70} - \frac{1}{80} \right) = 0.5$
$S_{ост} \left( \frac{8}{560} - \frac{7}{560} \right) = 0.5$
$S_{ост} \left( \frac{1}{560} \right) = 0.5$
Теперь найдем $S_{ост}$:
$S_{ост} = 0.5 \times 560 = 280$ км.

Итак, оставшееся расстояние составляет 280 км. Чтобы найти общее расстояние, которое прошел автобус, сложим расстояние, пройденное в первый час, и оставшееся расстояние:
$S_{общ} = S_1 + S_{ост} = 70 \text{ км} + 280 \text{ км} = 350 \text{ км}$.

Ответ: 350 км.

5.177. Выполните действия:

1) $34,68 : (7,11 + 1,56) + 46 : (2,45 - 1,65);$

2) $9\frac{1}{6}:\left(4\frac{1}{3}-8\right)+24\cdot\frac{3}{8}$.

1) $34,68 : (7,11 + 1,56) + 46 : (2,45 - 1,65)$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем деление и умножение, и в конце сложение и вычитание).

1. Выполним сложение в первых скобках:
$7,11 + 1,56 = 8,67$

2. Выполним вычитание во вторых скобках:
$2,45 - 1,65 = 0,80$

3. Выполним первое деление:
$34,68 : 8,67 = 4$

4. Выполним второе деление:
$46 : 0,80 = 46 : 0,8 = 460 : 8 = 57,5$

5. Выполним сложение результатов:
$4 + 57,5 = 61,5$

Таким образом, $34,68 : (7,11 + 1,56) + 46 : (2,45 - 1,65) = 4 + 57,5 = 61,5$.

Ответ: 61,5

2) $9\frac{1}{6} : (4\frac{1}{3} - 8) + 24 \cdot \frac{3}{8}$

Решим пример по действиям.

1. Выполним вычитание в скобках. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь и приведем числа к общему знаменателю:
$4\frac{1}{3} - 8 = \frac{13}{3} - \frac{8}{1} = \frac{13}{3} - \frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 3} = \frac{13}{3} - \frac{24}{3} = \frac{13 - 24}{3} = -\frac{11}{3}$

2. Выполним умножение:
$24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 3}{8} = 9$

3. Выполним деление. Сначала преобразуем смешанное число $9\frac{1}{6}$ в неправильную дробь:
$9\frac{1}{6} = \frac{9 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{55}{6}$
Теперь разделим, заменив деление умножением на обратную дробь:
$\frac{55}{6} : (-\frac{11}{3}) = \frac{55}{6} \cdot (-\frac{3}{11}) = -(\frac{55 \cdot 3}{6 \cdot 11}) = -(\frac{5 \cdot 11 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 11}) = -\frac{5}{2} = -2,5$

4. Выполним сложение результатов:
$-2,5 + 9 = 6,5$

Таким образом, $9\frac{1}{6} : (4\frac{1}{3} - 8) + 24 \cdot \frac{3}{8} = -2,5 + 9 = 6,5$.

Ответ: 6,5

5.178. Цена на овощи в октябре повысилась на 20%, а в июне снизилась на 20%. Стала ли цена на овощи прежней? Обоснуйте ответ. Решите задачу при исходной цене:

1) 150 тг;

2) 250 тг.

Нет, цена на овощи не стала прежней. Она стала ниже первоначальной.

Обоснование:

Это происходит потому, что 20% повышения и 20% понижения вычисляются от разных сумм. Повышение рассчитывается от исходной цены, а понижение — от уже увеличенной цены.

Пусть первоначальная цена овощей равна $x$.

1. После повышения на 20% в октябре цена составила $100\% + 20\% = 120\%$ от исходной. Новая цена: $x \times 1.2 = 1.2x$

2. Затем цена снизилась на 20% от новой, повышенной цены ($1.2x$). Итоговая цена составила $100\% - 20\% = 80\%$ от цены $1.2x$: $(1.2x) \times 0.8 = 0.96x$

Итоговая цена $0.96x$ составляет 96% от первоначальной цены $x$, то есть она на $4\%$ ниже.

Решим задачу для конкретных значений:

1) 150 тг

1. Находим цену после повышения на 20%:
$150 \times (1 + 0.20) = 150 \times 1.2 = 180$ тг.

2. Находим цену после снижения на 20% от новой цены (180 тг):
$180 \times (1 - 0.20) = 180 \times 0.8 = 144$ тг.

Итоговая цена (144 тг) не равна исходной (150 тг).
Ответ: 144 тг.

2) 250 тг

1. Находим цену после повышения на 20%:
$250 \times (1 + 0.20) = 250 \times 1.2 = 300$ тг.

2. Находим цену после снижения на 20% от новой цены (300 тг):
$300 \times (1 - 0.20) = 300 \times 0.8 = 240$ тг.

Итоговая цена (240 тг) не равна исходной (250 тг).
Ответ: 240 тг.

5.179. Найдите точку пересечения графика линейного уравнения $3x-y=-5$ и линейной функции $y=0,5x-5$.

Чтобы найти точку пересечения графиков, необходимо решить систему уравнений, состоящую из заданных уравнений. Координаты точки пересечения $(x, y)$ являются решением этой системы, так как они удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 3x - y = -5 \\ y = 0.5x - 5 \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Во втором уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$3x - (0.5x - 5) = -5$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $x$. Сначала раскроем скобки:
$3x - 0.5x + 5 = -5$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$2.5x + 5 = -5$
Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$2.5x = -5 - 5$
$2.5x = -10$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2.5:
$x = \frac{-10}{2.5} = -4$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив найденное значение $x = -4$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать второе уравнение $y = 0.5x - 5$:
$y = 0.5 \cdot (-4) - 5$
$y = -2 - 5$
$y = -7$

Таким образом, точка пересечения двух графиков имеет координаты $(-4, -7)$.

Ответ: $(-4, -7)$.

5.180. Опишите закономерность, по которой составлена последовательность, и найдите ее последующие 2 члена:

1) 0,2; 0,04; 0,008; ... ;

2) 1; 1,5; 1,25; $ \frac{7}{8} $; ... .

1) Данная последовательность: 0,2; 0,04; 0,008; ... является геометрической прогрессией.
Чтобы найти знаменатель прогрессии ($q$), разделим второй член на первый:
$q = 0,04 / 0,2 = 0,2$
Проверим, разделив третий член на второй:
$q = 0,008 / 0,04 = 0,2$
Закономерность состоит в том, что каждый последующий член получается умножением предыдущего на 0,2.
Найдем следующие два члена:
Четвертый член: $0,008 \times 0,2 = 0,0016$.
Пятый член: $0,0016 \times 0,2 = 0,00032$.
Ответ: 0,0016; 0,00032.

2) Рассмотрим последовательность: 1; 1,5; 1,25; $7/8$; ...
Для выявления закономерности представим все члены в виде обыкновенных дробей:
$1 = 1/1$
$1,5 = 3/2$
$1,25 = 125/100 = 5/4$
$7/8$
Теперь последовательность выглядит так: $1/1; 3/2; 5/4; 7/8; ...$
Закономерность заключается в том, что числители членов образуют арифметическую прогрессию нечетных чисел (1, 3, 5, 7, ...), а знаменатели — геометрическую прогрессию со знаменателем 2 (1, 2, 4, 8, ...).
Найдем следующие два члена:
Для пятого члена: следующий числитель будет $7 + 2 = 9$, а следующий знаменатель — $8 \times 2 = 16$. Таким образом, пятый член равен $9/16$.
Для шестого члена: следующий числитель будет $9 + 2 = 11$, а следующий знаменатель — $16 \times 2 = 32$. Таким образом, шестой член равен $11/32$.
Ответ: $9/16$; $11/32$.

5.181. Обратите число в бесконечную периодическую дробь и округлите ее с точностью до 0,001. Найдите относительную погрешность приближенного значения:

1) $1\frac{1}{3}$;

2) $\frac{3}{7}$;

3) $2\frac{4}{11}$;

4) $5\frac{7}{12}$.

1) $1\frac{1}{3}$

1. Сначала обратим смешанное число $1\frac{1}{3}$ в бесконечную периодическую дробь. Для этого переведем его в неправильную дробь и выполним деление числителя на знаменатель:
Точное значение: $x = 1\frac{1}{3} = \frac{4}{3} = 1.333... = 1.(3)$.

2. Теперь округлим полученную дробь с точностью до 0,001 (до третьего знака после запятой). Смотрим на четвертую цифру после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону (отбрасываем все цифры после третьей).
Приближенное значение: $x_a \approx 1.333$.

3. Найдем относительную погрешность приближенного значения. Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле $\delta = \frac{\Delta x}{|x|}$, где $\Delta x = |x - x_a|$ - абсолютная погрешность.
Сначала вычислим абсолютную погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{4}{3} - 1.333| = |\frac{4}{3} - \frac{1333}{1000}| = |\frac{4 \cdot 1000 - 1333 \cdot 3}{3000}| = |\frac{4000 - 3999}{3000}| = \frac{1}{3000}$.
Теперь вычислим относительную погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{1/3000}{4/3} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12000} = \frac{1}{4000}$.

Ответ: $1.(3)$; $1.333$; $\frac{1}{4000}$.

2) $\frac{3}{7}$

1. Обратим обыкновенную дробь $\frac{3}{7}$ в бесконечную периодическую дробь путем деления:
Точное значение: $x = \frac{3}{7} = 0.428571428... = 0.(428571)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 5. Так как $5 \ge 5$, округляем в большую сторону (увеличиваем третью цифру на 1).
Приближенное значение: $x_a \approx 0.429$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{3}{7} - 0.429| = |\frac{3}{7} - \frac{429}{1000}| = |\frac{3 \cdot 1000 - 429 \cdot 7}{7000}| = |\frac{3000 - 3003}{7000}| = |-\frac{3}{7000}| = \frac{3}{7000}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{3/7000}{3/7} = \frac{3}{7000} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{21000} = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $0.(428571)$; $0.429$; $\frac{1}{1000}$.

3) $2\frac{4}{11}$

1. Обратим смешанное число $2\frac{4}{11}$ в бесконечную периодическую дробь:
Точное значение: $x = 2\frac{4}{11} = \frac{26}{11} = 2.363636... = 2.(36)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 6. Так как $6 \ge 5$, округляем в большую сторону.
Приближенное значение: $x_a \approx 2.364$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{26}{11} - 2.364| = |\frac{26}{11} - \frac{2364}{1000}| = |\frac{26 \cdot 1000 - 2364 \cdot 11}{11000}| = |\frac{26000 - 26004}{11000}| = |-\frac{4}{11000}| = \frac{4}{11000} = \frac{1}{2750}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{4/11000}{26/11} = \frac{4}{11000} \cdot \frac{11}{26} = \frac{44}{286000} = \frac{1}{6500}$.

Ответ: $2.(36)$; $2.364$; $\frac{1}{6500}$.

4) $5\frac{7}{12}$

1. Обратим смешанное число $5\frac{7}{12}$ в бесконечную периодическую дробь:
Точное значение: $x = 5\frac{7}{12} = \frac{67}{12} = 5.58333... = 5.58(3)$.

2. Округлим полученную дробь с точностью до 0,001. Четвертая цифра после запятой - это 3. Так как $3 < 5$, округляем в меньшую сторону.
Приближенное значение: $x_a \approx 5.583$.

3. Найдем относительную погрешность.
Абсолютная погрешность:
$\Delta x = |x - x_a| = |\frac{67}{12} - 5.583| = |\frac{67}{12} - \frac{5583}{1000}|$. Найдем общий знаменатель, который равен НОК(12, 1000) = 3000.
$\Delta x = |\frac{67 \cdot 250}{3000} - \frac{5583 \cdot 3}{3000}| = |\frac{16750 - 16749}{3000}| = \frac{1}{3000}$.
Относительная погрешность:
$\delta = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{1/3000}{67/12} = \frac{1}{3000} \cdot \frac{12}{67} = \frac{12}{201000} = \frac{1}{16750}$.

Ответ: $5.58(3)$; $5.583$; $\frac{1}{16750}$.