Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.11. Докажите справедливость равенства:

1) $\frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y} = -\frac{x-2}{4-y} = -\frac{2-x}{y-4};$

2) $\frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)} = -\frac{m}{(x-m)(n-x)}.$

1) Для доказательства справедливости данной цепочки равенств мы последовательно преобразуем каждую дробь, приводя их к общему виду. За основу возьмем первую дробь $\frac{x-2}{y-4}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{2-x}{4-y}$. Чтобы привести ее к виду первой дроби, вынесем множитель $-1$ за скобки как в числителе, так и в знаменателе:
$2-x = -(x-2)$
$4-y = -(y-4)$
Подставив эти выражения в дробь, получим:
$\frac{2-x}{4-y} = \frac{-(x-2)}{-(y-4)}$
Так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$, то:
$\frac{-(x-2)}{-(y-4)} = \frac{x-2}{y-4}$
Следовательно, первое равенство $\frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y}$ верно.

Теперь рассмотрим третью дробь $-\frac{x-2}{4-y}$. Преобразуем ее знаменатель, вынеся $-1$ за скобки:
$4-y = -(y-4)$
Тогда дробь примет вид:
$-\frac{x-2}{4-y} = -\frac{x-2}{-(y-4)}$
Так как $-\frac{a}{-b} = \frac{a}{b}$, то:
$-\frac{x-2}{-(y-4)} = \frac{x-2}{y-4}$
Следовательно, вторая часть равенства также верна.

Наконец, рассмотрим четвертую дробь $-\frac{2-x}{y-4}$. Преобразуем ее числитель, вынеся $-1$ за скобки:
$2-x = -(x-2)$
Тогда дробь примет вид:
$-\frac{2-x}{y-4} = -\frac{-(x-2)}{y-4}$
Так как $-\frac{-a}{b} = \frac{a}{b}$, то:
$-\frac{-(x-2)}{y-4} = \frac{x-2}{y-4}$
Таким образом, все дроби в цепочке равны $\frac{x-2}{y-4}$, что и доказывает справедливость всего равенства.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства этого равенства мы также покажем, что вторая и третья дроби могут быть приведены к виду первой дроби $\frac{m}{(x-m)(x-n)}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{m}{(m-x)(n-x)}$. Преобразуем ее знаменатель, вынеся множитель $-1$ за скобки из каждого сомножителя:
$m-x = -(x-m)$
$n-x = -(x-n)$
Знаменатель примет вид:
$(m-x)(n-x) = (-(x-m)) \cdot (-(x-n)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (x-m)(x-n) = (x-m)(x-n)$
Таким образом, вторая дробь равна первой:
$\frac{m}{(m-x)(n-x)} = \frac{m}{(x-m)(x-n)}$
Следовательно, первое равенство $\frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)}$ верно.

Теперь рассмотрим третью дробь $-\frac{m}{(x-m)(n-x)}$. Преобразуем второй множитель в знаменателе, вынеся $-1$ за скобки:
$n-x = -(x-n)$
Знаменатель примет вид:
$(x-m)(n-x) = (x-m)(-(x-n)) = -(x-m)(x-n)$
Подставим это выражение в дробь:
$-\frac{m}{(x-m)(n-x)} = -\frac{m}{-(x-m)(x-n)}$
Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе взаимно уничтожаются:
$-\frac{m}{-(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(x-m)(x-n)}$
Следовательно, третья дробь также равна первой.
Поскольку все части равенства приводятся к одному и тому же виду, исходное равенство является справедливым.

Ответ: Равенство доказано.

В упражнениях 6.12–6.19 сократите дроби.

6.12. 1) $\frac{x+x^2}{x^2-1}$; 2) $\frac{a-a^2}{a^2-1}$; 3) $\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}$; 4) $\frac{m^2-n^2}{(n+m)^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{x+x^2}{x^2-1}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x+x^2 = x(1+x)$.
Знаменатель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2-1 = x^2-1^2 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{x(1+x)}{(x-1)(x+1)}$.
Сократим общий множитель $(x+1)$: $\frac{x\cancel{(1+x)}}{(x-1)\cancel{(x+1)}} = \frac{x}{x-1}$.
Ответ: $\frac{x}{x-1}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a-a^2}{a^2-1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a-a^2 = a(1-a)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
Получим дробь: $\frac{a(1-a)}{(a-1)(a+1)}$.
Заметим, что $1-a = -(a-1)$. Перепишем числитель: $\frac{-a(a-1)}{(a-1)(a+1)}$.
Сократим общий множитель $(a-1)$: $\frac{-a\cancel{(a-1)}}{\cancel{(a-1)}(a+1)} = \frac{-a}{a+1} = -\frac{a}{a+1}$.
Ответ: $-\frac{a}{a+1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{(a-b)^2}{b^2-a^2}$, разложим знаменатель на множители.
Числитель уже представлен в виде множителей: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.
Знаменатель является разностью квадратов: $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$.
Получим дробь: $\frac{(a-b)^2}{(b-a)(b+a)}$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Перепишем знаменатель: $\frac{(a-b)^2}{-(a-b)(b+a)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$: $\frac{(a-b)^{\cancel{2}}}{-\cancel{(a-b)}(b+a)} = \frac{a-b}{-(b+a)} = -\frac{a-b}{a+b}$.
Также ответ можно записать в виде $\frac{b-a}{a+b}$.
Ответ: $-\frac{a-b}{a+b}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2-n^2}{(n+m)^2}$, разложим числитель на множители.
Числитель является разностью квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
В знаменателе учтем, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется: $(n+m)^2 = (m+n)^2 = (m+n)(m+n)$.
Подставим разложенные выражения в дробь: $\frac{(m-n)(m+n)}{(m+n)(m+n)}$.
Сократим общий множитель $(m+n)$: $\frac{(m-n)\cancel{(m+n)}}{(m+n)^{\cancel{2}}} = \frac{m-n}{m+n}$.
Ответ: $\frac{m-n}{m+n}$.

6.13. 1) $\frac{a^2 - 1}{1 - a}$;

2) $\frac{m - n}{(n - m)^2}$;

3) $\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$;

4) $\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 - 1}{1 - a}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
В знаменателе $1 - a$ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение, совпадающее с одним из множителей в числителе:
$1 - a = -(a - 1)$
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a - 1)(a + 1)}{-(a - 1)}$
Сократим общий множитель $(a - 1)$, предполагая, что $a \neq 1$:
$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{-\cancel{(a - 1)}} = \frac{a + 1}{-1} = -(a + 1) = -a - 1$
Ответ: $-a - 1$

2) Для упрощения дроби $\frac{m - n}{(n - m)^2}$ преобразуем знаменатель. Заметим, что $n - m = -(m - n)$. Используя свойство квадрата $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$(n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (m - n)^2$
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{m - n}{(m - n)^2}$
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(m - n)$, при условии, что $m \neq n$:
$\frac{m - n}{(m - n)(m - n)} = \frac{1}{m - n}$
Ответ: $\frac{1}{m - n}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$. Разложим знаменатель $x^2 - 1$ на множители как разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Перепишем исходную дробь с разложенным знаменателем:
$\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$
Сократим общий множитель $(x + 1)$, предполагая, что $x \neq -1$:
$\frac{\cancel{(x + 1)}(x + 1)}{(x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x + 1}{x - 1}$
Ответ: $\frac{x + 1}{x - 1}$

4) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}$, разложим числитель $a^2 - 1$ по формуле разности квадратов:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
Подставим разложенный числитель в дробь. Знаменатель $(a - 1)^2$ можно представить как $(a - 1)(a - 1)$:
$\frac{(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)(a - 1)}$
Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что $a \neq 1$:
$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{\cancel{(a - 1)}(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$
Ответ: $\frac{a + 1}{a - 1}$

6.14. 1) $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$;

2) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;

3) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$;

4) $\frac{5m^2 + 10mn + 5n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

1) Дана дробь: $ \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2} $.
Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Числитель $a^2+2ab+b^2$ является формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Знаменатель $a^2-b^2$ является формулой разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения в исходную дробь:
$ \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} $.
Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии что $a+b \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{a+b}{a-b} $.
Ответ: $ \frac{a+b}{a-b} $.

2) Дана дробь: $ \frac{x^2-2x+1}{x^2-1} $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $x^2-2x+1$ — это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = x^2-2x+1$.
Знаменатель $x^2-1$ — это формула разности квадратов: $x^2-1^2 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$ \frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} $.
Сократим общий множитель $(x-1)$, при условии что $x-1 \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{x-1}{x+1} $.
Ответ: $ \frac{x-1}{x+1} $.

3) Дана дробь: $ \frac{3a^2-6ab+3b^2}{6a^2-6b^2} $.
Сначала вынесем общие числовые множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе выносим 3: $3(a^2-2ab+b^2)$.
В знаменателе выносим 6: $6(a^2-b^2)$.
Теперь дробь имеет вид: $ \frac{3(a^2-2ab+b^2)}{6(a^2-b^2)} $.
Применим формулы сокращенного умножения к выражениям в скобках.
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставляем в дробь:
$ \frac{3(a-b)^2}{6(a-b)(a+b)} = \frac{3(a-b)(a-b)}{6(a-b)(a+b)} $.
Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $ и общий множитель $(a-b)$, при условии что $a-b \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{1 \cdot (a-b)}{2 \cdot (a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)} $.
Ответ: $ \frac{a-b}{2(a+b)} $.

4) Дана дробь: $ \frac{5m^2+10mn+5n^2}{15m^2-15n^2} $.
Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе выносим 5: $5(m^2+2mn+n^2)$.
В знаменателе выносим 15: $15(m^2-n^2)$.
Дробь принимает вид: $ \frac{5(m^2+2mn+n^2)}{15(m^2-n^2)} $.
Теперь используем формулы сокращенного умножения.
Выражение в числителе: $m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2$.
Выражение в знаменателе: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.
Подставляем в дробь:
$ \frac{5(m+n)^2}{15(m-n)(m+n)} = \frac{5(m+n)(m+n)}{15(m-n)(m+n)} $.
Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{5}{15}=\frac{1}{3} $ и общий множитель $(m+n)$, при условии что $m+n \neq 0$.
В результате получаем: $ \frac{1 \cdot (m+n)}{3 \cdot (m-n)} = \frac{m+n}{3(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{m+n}{3(m-n)} $.

6.15. 1) $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$;

2) $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$;

3) $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$;

4) $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: суммой кубов для числителя и разностью квадратов для знаменателя.

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эти формулы к нашему выражению:

Числитель: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

Знаменатель: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{x^3 + y^3}{x^2 - y^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$

Сократим общий множитель $(x + y)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x + y \neq 0$):

$\frac{\sout{(x + y)}(x^2 - xy + y^2)}{(x - y)\sout{(x + y)}} = \frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

Ответ: $\frac{x^2 - xy + y^2}{x - y}$

2) Для упрощения дроби $\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2}$ используем формулы разности кубов для числителя и разности квадратов для знаменателя.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим формулы к нашему выражению:

Числитель: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

Знаменатель: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{m^3 - n^3}{m^2 - n^2} = \frac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{(m - n)(m + n)}$

Сократим общий множитель $(m - n)$ (при условии, что $m - n \neq 0$):

$\frac{\sout{(m - n)}(m^2 + mn + n^2)}{\sout{(m - n)}(m + n)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{m + n}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{m + n}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{2a^3 - 2b^3}{5a^2 - 5b^2}$. Сначала вынесем общие числовые множители за скобки в числителе и знаменателе.

Числитель: $2a^3 - 2b^3 = 2(a^3 - b^3)$.

Знаменатель: $5a^2 - 5b^2 = 5(a^2 - b^2)$.

Дробь принимает вид: $\frac{2(a^3 - b^3)}{5(a^2 - b^2)}$.

Теперь разложим выражения в скобках по формулам разности кубов и разности квадратов:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подставим разложения в нашу дробь:

$\frac{2(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{5(a - b)(a + b)}$

Сократим общий множитель $(a - b)$ (при условии, что $a - b \neq 0$):

$\frac{2\sout{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{5\sout{(a - b)}(a + b)} = \frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a + b)}$

Ответ: $\frac{2(a^2 + ab + b^2)}{5(a + b)}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{3p^2 - 3q^2}{6p^3 + 6q^3}$. Вынесем общие числовые множители за скобки.

Числитель: $3p^2 - 3q^2 = 3(p^2 - q^2)$.

Знаменатель: $6p^3 + 6q^3 = 6(p^3 + q^3)$.

Дробь принимает вид: $\frac{3(p^2 - q^2)}{6(p^3 + q^3)}$.

Сократим числовые коэффициенты $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$:

$\frac{p^2 - q^2}{2(p^3 + q^3)}$

Теперь разложим на множители числитель по формуле разности квадратов и выражение в скобках в знаменателе по формуле суммы кубов:

$p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$

$p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$

Подставим разложения в дробь:

$\frac{(p - q)(p + q)}{2(p + q)(p^2 - pq + q^2)}$

Сократим общий множитель $(p + q)$ (при условии, что $p + q \neq 0$):

$\frac{(p - q)\sout{(p + q)}}{2\sout{(p + q)}(p^2 - pq + q^2)} = \frac{p - q}{2(p^2 - pq + q^2)}$

Ответ: $\frac{p - q}{2(p^2 - pq + q^2)}$

6.16. 1) $\frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2}$;

2) $\frac{x^4 - y^4}{x^2 - y^2}$;

3) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

4) $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^4-b^4}{a^2+b^2}$, необходимо разложить числитель на множители. Мы видим в числителе разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Применим эту формулу к числителю:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

2) Упростим выражение $\frac{x^4-y^4}{x^2-y^2}$. Это задание аналогично предыдущему. Разложим числитель $x^4 - y^4$ по формуле разности квадратов:

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Подставим это в дробь:

$\frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2}$

Сократим одинаковый множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{\cancel{(x^2 - y^2)}(x^2 + y^2)}{\cancel{x^2 - y^2}} = x^2 + y^2$

Ответ: $x^2 + y^2$

3) Упростим выражение $\frac{a^3-b^3}{a^4-b^4}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Знаменатель раскладывается как разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$. В свою очередь, первый множитель $(a^2-b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому: $a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2)}{\cancel{(a-b)}(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)}$

Ответ: $\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)}$

4) Упростим выражение $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$. Для этого разложим знаменатель на множители.

Используем формулу разности кубов для знаменателя: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Числитель $a^2+ab+b^2$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на более простые множители с действительными коэффициентами.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{(a-b)\cancel{(a^2+ab+b^2)}} = \frac{1}{a-b}$

Ответ: $\frac{1}{a-b}$

6.17. 1) $ \frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4} $

2) $ \frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3} $

3) $ \frac{2a + 4}{a^3 + 8} $

4) $ \frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3} $

1) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^3b + 5ab^3}{a^4 - b^4}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $5ab$ за скобки:
$5a^3b + 5ab^3 = 5ab(a^2 + b^2)$.
Знаменатель $a^4 - b^4$ представляет собой разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.
Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому разложим его дальше: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Таким образом, знаменатель полностью раскладывается на множители как $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $(a^2+b^2)$:
$\frac{5ab(a^2 + b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{5ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{5ab}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{5ab}{a^2-b^2}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{ab^2 - a^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Как и в предыдущем примере, числитель $a^4 - b^4$ раскладывается на множители: $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
В знаменателе $ab^2 - a^3$ вынесем общий множитель $a$ за скобки:
$ab^2 - a^3 = a(b^2 - a^2)$.
Выражение $b^2 - a^2$ является разностью квадратов: $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$.
Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Тогда знаменатель можно записать как $a(b-a)(b+a) = -a(a-b)(a+b)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общие множители $(a-b)$ и $(a+b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{-a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{-a} = -\frac{a^2+b^2}{a}$.
Ответ: $-\frac{a^2+b^2}{a}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{2a + 4}{a^3 + 8}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе вынесем общий множитель $2$ за скобки:
$2a + 4 = 2(a+2)$.
Знаменатель $a^3+8$ представляет собой сумму кубов, так как $8 = 2^3$. Используем формулу суммы кубов $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$:
$a^3 + 8 = a^3 + 2^3 = (a+2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+2)$:
$\frac{2(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{2}{a^2-2a+4}$.
Ответ: $\frac{2}{a^2-2a+4}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3}$, разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $a^4 - b^4$ раскладываем как разность квадратов:
$a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Знаменатель $a^3 - b^3$ раскладываем как разность кубов по формуле $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a-b)$:
$\frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}$.
Дальнейшее сокращение невозможно, так как у числителя и знаменателя больше нет общих множителей.
Ответ: $\frac{(a+b)(a^2+b^2)}{a^2+ab+b^2}$

6.18. 1) $ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2a^4 - 2b^4} $;

2) $ \frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1} $;

3) $ \frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3} $;

4) $ \frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2a^4 - 2b^4}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем дважды применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4) = 2((a^2)^2 - (b^2)^2) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.
Ответ: $\frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу квадрата разности: $1 - 2x + x^2 = (1-x)^2 = (x-1)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$:
$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки 3 и применим формулу разности квадратов: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n-m)(n+m)$.
В знаменателе вынесем за скобки 6 и применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$6m^3 + 6n^3 = 6(m^3 + n^3) = 6(m+n)(m^2 - mn + n^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь. Заметим, что $(n+m) = (m+n)$.
$\frac{3(n-m)(n+m)}{6(m+n)(m^2 - mn + n^2)}$.
Сократим общий множитель $(n+m)$ и числовые коэффициенты ($\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$):
$\frac{n-m}{2(m^2 - mn + n^2)}$.
Ответ: $\frac{n-m}{2(m^2 - mn + n^2)}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2}$, разложим числитель на множители.
Числитель представляет собой разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - b^2)$ (при условии, что $a^2 - b^2 \neq 0$):
$a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$.

6.19. 1) $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$;

3) $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^3}$;

4) $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$.

1) Для того чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель - это $x^4$:
$x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1)$.
В знаменателе общий множитель - это $x^2$:
$x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$.
Теперь подставим эти выражения обратно в дробь:
$\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^2 + 1)$. Также сократим $x^4$ и $x^2$. Получим:
$\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$.
При этом необходимо учитывать, что знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю, то есть $x^4 + x^2 \neq 0$, что означает $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
Ответ: $x^2$.

2) Упростим выражение $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе:
$x^6 - x^8 = x^6(1 - x^2)$.
Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе:
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{x^6(1 - x^2)}{x^2(x^2 - 1)}$.
Заметим, что $1 - x^2 = -(x^2 - 1)$. Используем это для преобразования числителя:
$\frac{-x^6(x^2 - 1)}{x^2(x^2 - 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^2 - 1)$ и степени переменной $x$:
$\frac{-x^6}{x^2} = -x^{6-2} = -x^4$.
Ограничения: $x^4 - x^2 \neq 0$, то есть $x^2(x^2-1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Ответ: $-x^4$.

3) Упростим выражение $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^3}$.
Вынесем общие множители за скобки.
В числителе: $m^7 - m^{10} = m^7(1 - m^3)$.
В знаменателе: $m^9 - m^3 = m^3(m^6 - 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{m^7(1 - m^3)}{m^3(m^6 - 1)}$.
Знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^3$ и $b = 1$:
$m^6 - 1 = (m^3)^2 - 1^2 = (m^3 - 1)(m^3 + 1)$.
Подставим это в знаменатель:
$\frac{m^7(1 - m^3)}{m^3(m^3 - 1)(m^3 + 1)}$.
Так как $1 - m^3 = -(m^3 - 1)$, мы можем переписать дробь:
$\frac{-m^7(m^3 - 1)}{m^3(m^3 - 1)(m^3 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(m^3 - 1)$ и степени переменной $m$:
$\frac{-m^7}{m^3(m^3 + 1)} = \frac{-m^{7-3}}{m^3 + 1} = -\frac{m^4}{m^3 + 1}$.
Ограничения: $m^9 - m^3 \neq 0$, то есть $m^3(m^6-1) \neq 0$, откуда $m \neq 0$ и $m \neq \pm 1$.
Ответ: $-\frac{m^4}{m^3 + 1}$.

4) Упростим выражение $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$.
Вынесем общий множитель $a^4$ в числителе:
$a^6 - a^4 = a^4(a^2 - 1)$.
Используя формулу разности квадратов, разложим $a^2 - 1$:
$a^4(a^2 - 1) = a^4(a - 1)(a + 1)$.
Вынесем общий множитель $a^2$ в знаменателе:
$a^3 + a^2 = a^2(a + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a^4(a - 1)(a + 1)}{a^2(a + 1)}$.
Сократим общие множители $(a + 1)$ и $a^2$:
$\frac{a^4(a - 1)}{a^2} = a^{4-2}(a - 1) = a^2(a - 1)$.
Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:
$a^2(a - 1) = a^3 - a^2$.
Ограничения: $a^3 + a^2 \neq 0$, то есть $a^2(a+1) \neq 0$, откуда $a \neq 0$ и $a \neq -1$.
Ответ: $a^3 - a^2$.