Номер 6.16, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.16. 1) $\frac{a^4 - b^4}{a^2 + b^2}$;

2) $\frac{x^4 - y^4}{x^2 - y^2}$;

3) $\frac{a^3 - b^3}{a^4 - b^4}$;

4) $\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 - b^3}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^4-b^4}{a^2+b^2}$, необходимо разложить числитель на множители. Мы видим в числителе разность квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Применим эту формулу к числителю:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2}$

Сократим общий множитель $(a^2 + b^2)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a^2 - b^2)\cancel{(a^2 + b^2)}}{\cancel{a^2 + b^2}} = a^2 - b^2$

Ответ: $a^2 - b^2$

2) Упростим выражение $\frac{x^4-y^4}{x^2-y^2}$. Это задание аналогично предыдущему. Разложим числитель $x^4 - y^4$ по формуле разности квадратов:

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Подставим это в дробь:

$\frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^2 - y^2}$

Сократим одинаковый множитель $(x^2 - y^2)$:

$\frac{\cancel{(x^2 - y^2)}(x^2 + y^2)}{\cancel{x^2 - y^2}} = x^2 + y^2$

Ответ: $x^2 + y^2$

3) Упростим выражение $\frac{a^3-b^3}{a^4-b^4}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель раскладывается по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Знаменатель раскладывается как разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$. В свою очередь, первый множитель $(a^2-b^2)$ также является разностью квадратов, поэтому: $a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a-b)$:

$\frac{\cancel{(a-b)}(a^2+ab+b^2)}{\cancel{(a-b)}(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)}$

Ответ: $\frac{a^2+ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)}$

4) Упростим выражение $\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}$. Для этого разложим знаменатель на множители.

Используем формулу разности кубов для знаменателя: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Числитель $a^2+ab+b^2$ является неполным квадратом суммы и не раскладывается на более простые множители с действительными коэффициентами.

Подставим разложенный знаменатель в дробь:

$\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$

Сократим общий множитель $(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{\cancel{a^2+ab+b^2}}{(a-b)\cancel{(a^2+ab+b^2)}} = \frac{1}{a-b}$

Ответ: $\frac{1}{a-b}$