Номер 6.18, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.18. 1) $ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2a^4 - 2b^4} $;

2) $ \frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1} $;

3) $ \frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3} $;

4) $ \frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2} $.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2a^4 - 2b^4}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель 2 за скобки, а затем дважды применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
$2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4) = 2((a^2)^2 - (b^2)^2) = 2(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = 2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.
Теперь подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(a+b)$:
$\frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.
Ответ: $\frac{a+b}{2(a-b)(a^2+b^2)}$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{1 - 2x + x^2}{x^2 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель представляет собой формулу квадрата разности: $1 - 2x + x^2 = (1-x)^2 = (x-1)^2$.
Знаменатель является разностью квадратов: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь и сократим общий множитель $(x-1)$:
$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{3n^2 - 3m^2}{6m^3 + 6n^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки 3 и применим формулу разности квадратов: $3n^2 - 3m^2 = 3(n^2 - m^2) = 3(n-m)(n+m)$.
В знаменателе вынесем за скобки 6 и применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
$6m^3 + 6n^3 = 6(m^3 + n^3) = 6(m+n)(m^2 - mn + n^2)$.
Подставим разложенные выражения в дробь. Заметим, что $(n+m) = (m+n)$.
$\frac{3(n-m)(n+m)}{6(m+n)(m^2 - mn + n^2)}$.
Сократим общий множитель $(n+m)$ и числовые коэффициенты ($\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$):
$\frac{n-m}{2(m^2 - mn + n^2)}$.
Ответ: $\frac{n-m}{2(m^2 - mn + n^2)}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a^4 - b^4}{a^2 - b^2}$, разложим числитель на множители.
Числитель представляет собой разность квадратов: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a^2 - b^2)$ (при условии, что $a^2 - b^2 \neq 0$):
$a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$.