Номер 6.11, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.11. Докажите справедливость равенства:

1) $\frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y} = -\frac{x-2}{4-y} = -\frac{2-x}{y-4};$

2) $\frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)} = -\frac{m}{(x-m)(n-x)}.$

1) Для доказательства справедливости данной цепочки равенств мы последовательно преобразуем каждую дробь, приводя их к общему виду. За основу возьмем первую дробь $\frac{x-2}{y-4}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{2-x}{4-y}$. Чтобы привести ее к виду первой дроби, вынесем множитель $-1$ за скобки как в числителе, так и в знаменателе:
$2-x = -(x-2)$
$4-y = -(y-4)$
Подставив эти выражения в дробь, получим:
$\frac{2-x}{4-y} = \frac{-(x-2)}{-(y-4)}$
Так как $\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$, то:
$\frac{-(x-2)}{-(y-4)} = \frac{x-2}{y-4}$
Следовательно, первое равенство $\frac{x-2}{y-4} = \frac{2-x}{4-y}$ верно.

Теперь рассмотрим третью дробь $-\frac{x-2}{4-y}$. Преобразуем ее знаменатель, вынеся $-1$ за скобки:
$4-y = -(y-4)$
Тогда дробь примет вид:
$-\frac{x-2}{4-y} = -\frac{x-2}{-(y-4)}$
Так как $-\frac{a}{-b} = \frac{a}{b}$, то:
$-\frac{x-2}{-(y-4)} = \frac{x-2}{y-4}$
Следовательно, вторая часть равенства также верна.

Наконец, рассмотрим четвертую дробь $-\frac{2-x}{y-4}$. Преобразуем ее числитель, вынеся $-1$ за скобки:
$2-x = -(x-2)$
Тогда дробь примет вид:
$-\frac{2-x}{y-4} = -\frac{-(x-2)}{y-4}$
Так как $-\frac{-a}{b} = \frac{a}{b}$, то:
$-\frac{-(x-2)}{y-4} = \frac{x-2}{y-4}$
Таким образом, все дроби в цепочке равны $\frac{x-2}{y-4}$, что и доказывает справедливость всего равенства.

Ответ: Равенство доказано.

2) Для доказательства этого равенства мы также покажем, что вторая и третья дроби могут быть приведены к виду первой дроби $\frac{m}{(x-m)(x-n)}$.

Рассмотрим вторую дробь $\frac{m}{(m-x)(n-x)}$. Преобразуем ее знаменатель, вынеся множитель $-1$ за скобки из каждого сомножителя:
$m-x = -(x-m)$
$n-x = -(x-n)$
Знаменатель примет вид:
$(m-x)(n-x) = (-(x-m)) \cdot (-(x-n)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (x-m)(x-n) = (x-m)(x-n)$
Таким образом, вторая дробь равна первой:
$\frac{m}{(m-x)(n-x)} = \frac{m}{(x-m)(x-n)}$
Следовательно, первое равенство $\frac{m}{(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(m-x)(n-x)}$ верно.

Теперь рассмотрим третью дробь $-\frac{m}{(x-m)(n-x)}$. Преобразуем второй множитель в знаменателе, вынеся $-1$ за скобки:
$n-x = -(x-n)$
Знаменатель примет вид:
$(x-m)(n-x) = (x-m)(-(x-n)) = -(x-m)(x-n)$
Подставим это выражение в дробь:
$-\frac{m}{(x-m)(n-x)} = -\frac{m}{-(x-m)(x-n)}$
Знак "минус" перед дробью и "минус" в знаменателе взаимно уничтожаются:
$-\frac{m}{-(x-m)(x-n)} = \frac{m}{(x-m)(x-n)}$
Следовательно, третья дробь также равна первой.
Поскольку все части равенства приводятся к одному и тому же виду, исходное равенство является справедливым.

Ответ: Равенство доказано.