Номер 6.13, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.13. 1) $\frac{a^2 - 1}{1 - a}$;

2) $\frac{m - n}{(n - m)^2}$;

3) $\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$;

4) $\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}$.

1) Чтобы упростить выражение $\frac{a^2 - 1}{1 - a}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Числитель $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
В знаменателе $1 - a$ вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение, совпадающее с одним из множителей в числителе:
$1 - a = -(a - 1)$
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(a - 1)(a + 1)}{-(a - 1)}$
Сократим общий множитель $(a - 1)$, предполагая, что $a \neq 1$:
$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{-\cancel{(a - 1)}} = \frac{a + 1}{-1} = -(a + 1) = -a - 1$
Ответ: $-a - 1$

2) Для упрощения дроби $\frac{m - n}{(n - m)^2}$ преобразуем знаменатель. Заметим, что $n - m = -(m - n)$. Используя свойство квадрата $(-x)^2 = x^2$, получаем:
$(n - m)^2 = (-(m - n))^2 = (m - n)^2$
Подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:
$\frac{m - n}{(m - n)^2}$
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(m - n)$, при условии, что $m \neq n$:
$\frac{m - n}{(m - n)(m - n)} = \frac{1}{m - n}$
Ответ: $\frac{1}{m - n}$

3) Рассмотрим выражение $\frac{(x + 1)^2}{x^2 - 1}$. Разложим знаменатель $x^2 - 1$ на множители как разность квадратов:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Перепишем исходную дробь с разложенным знаменателем:
$\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x + 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$
Сократим общий множитель $(x + 1)$, предполагая, что $x \neq -1$:
$\frac{\cancel{(x + 1)}(x + 1)}{(x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{x + 1}{x - 1}$
Ответ: $\frac{x + 1}{x - 1}$

4) Чтобы упростить дробь $\frac{a^2 - 1}{(a - 1)^2}$, разложим числитель $a^2 - 1$ по формуле разности квадратов:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
Подставим разложенный числитель в дробь. Знаменатель $(a - 1)^2$ можно представить как $(a - 1)(a - 1)$:
$\frac{(a - 1)(a + 1)}{(a - 1)(a - 1)}$
Сократим общий множитель $(a - 1)$, при условии, что $a \neq 1$:
$\frac{\cancel{(a - 1)}(a + 1)}{\cancel{(a - 1)}(a - 1)} = \frac{a + 1}{a - 1}$
Ответ: $\frac{a + 1}{a - 1}$