Номер 6.19, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.19. 1) $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$;

2) $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$;

3) $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^3}$;

4) $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$.

1) Для того чтобы упростить выражение $\frac{x^6 + x^4}{x^4 + x^2}$, вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель - это $x^4$:
$x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1)$.
В знаменателе общий множитель - это $x^2$:
$x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1)$.
Теперь подставим эти выражения обратно в дробь:
$\frac{x^4(x^2 + 1)}{x^2(x^2 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^2 + 1)$. Также сократим $x^4$ и $x^2$. Получим:
$\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$.
При этом необходимо учитывать, что знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю, то есть $x^4 + x^2 \neq 0$, что означает $x^2(x^2+1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$.
Ответ: $x^2$.

2) Упростим выражение $\frac{x^6 - x^8}{x^4 - x^2}$.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе:
$x^6 - x^8 = x^6(1 - x^2)$.
Вынесем общий множитель за скобки в знаменателе:
$x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)$.
Подставим в дробь:
$\frac{x^6(1 - x^2)}{x^2(x^2 - 1)}$.
Заметим, что $1 - x^2 = -(x^2 - 1)$. Используем это для преобразования числителя:
$\frac{-x^6(x^2 - 1)}{x^2(x^2 - 1)}$.
Сократим общий множитель $(x^2 - 1)$ и степени переменной $x$:
$\frac{-x^6}{x^2} = -x^{6-2} = -x^4$.
Ограничения: $x^4 - x^2 \neq 0$, то есть $x^2(x^2-1) \neq 0$, откуда $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Ответ: $-x^4$.

3) Упростим выражение $\frac{m^7 - m^{10}}{m^9 - m^3}$.
Вынесем общие множители за скобки.
В числителе: $m^7 - m^{10} = m^7(1 - m^3)$.
В знаменателе: $m^9 - m^3 = m^3(m^6 - 1)$.
Дробь примет вид:
$\frac{m^7(1 - m^3)}{m^3(m^6 - 1)}$.
Знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = m^3$ и $b = 1$:
$m^6 - 1 = (m^3)^2 - 1^2 = (m^3 - 1)(m^3 + 1)$.
Подставим это в знаменатель:
$\frac{m^7(1 - m^3)}{m^3(m^3 - 1)(m^3 + 1)}$.
Так как $1 - m^3 = -(m^3 - 1)$, мы можем переписать дробь:
$\frac{-m^7(m^3 - 1)}{m^3(m^3 - 1)(m^3 + 1)}$.
Сократим общий множитель $(m^3 - 1)$ и степени переменной $m$:
$\frac{-m^7}{m^3(m^3 + 1)} = \frac{-m^{7-3}}{m^3 + 1} = -\frac{m^4}{m^3 + 1}$.
Ограничения: $m^9 - m^3 \neq 0$, то есть $m^3(m^6-1) \neq 0$, откуда $m \neq 0$ и $m \neq \pm 1$.
Ответ: $-\frac{m^4}{m^3 + 1}$.

4) Упростим выражение $\frac{a^6 - a^4}{a^3 + a^2}$.
Вынесем общий множитель $a^4$ в числителе:
$a^6 - a^4 = a^4(a^2 - 1)$.
Используя формулу разности квадратов, разложим $a^2 - 1$:
$a^4(a^2 - 1) = a^4(a - 1)(a + 1)$.
Вынесем общий множитель $a^2$ в знаменателе:
$a^3 + a^2 = a^2(a + 1)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{a^4(a - 1)(a + 1)}{a^2(a + 1)}$.
Сократим общие множители $(a + 1)$ и $a^2$:
$\frac{a^4(a - 1)}{a^2} = a^{4-2}(a - 1) = a^2(a - 1)$.
Раскроем скобки, чтобы получить окончательный вид:
$a^2(a - 1) = a^3 - a^2$.
Ограничения: $a^3 + a^2 \neq 0$, то есть $a^2(a+1) \neq 0$, откуда $a \neq 0$ и $a \neq -1$.
Ответ: $a^3 - a^2$.