Номер 6.23, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.23. Сократите дробь:

1) $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$

2) $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$

3) $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$

4) $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{ax+ay-bx-by}{ax-ay-bx+by}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель методом группировки.
В числителе: $ax+ay-bx-by = (ax+ay)-(bx+by) = a(x+y)-b(x+y) = (a-b)(x+y)$.
В знаменателе: $ax-ay-bx+by = (ax-ay)-(bx-by) = a(x-y)-b(x-y) = (a-b)(x-y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a-b)(x+y)}{(a-b)(x-y)}$.
Сократим общий множитель $(a-b)$.
Получаем: $\frac{x+y}{x-y}$.
Ответ: $\frac{x+y}{x-y}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{ac-bc+ad-bd}{ac+bc+ad+bd}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.
В числителе: $ac-bc+ad-bd = (ac-bc)+(ad-bd) = c(a-b)+d(a-b) = (c+d)(a-b)$.
В знаменателе: $ac+bc+ad+bd = (ac+bc)+(ad+bd) = c(a+b)+d(a+b) = (c+d)(a+b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(c+d)(a-b)}{(c+d)(a+b)}$.
Сократим общий множитель $(c+d)$.
Получаем: $\frac{a-b}{a+b}$.
Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{ab+ac+b^2+bc}{ax+ay+bx+by}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе: $ab+ac+b^2+bc = (ab+b^2)+(ac+bc) = b(a+b)+c(a+b) = (b+c)(a+b)$.
В знаменателе: $ax+ay+bx+by = (ax+ay)+(bx+by) = a(x+y)+b(x+y) = (a+b)(x+y)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(b+c)(a+b)}{(a+b)(x+y)}$.
Сократим общий множитель $(a+b)$.
Получаем: $\frac{b+c}{x+y}$.
Ответ: $\frac{b+c}{x+y}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{(a+b)^2-c^2}{a+b+c}$, применим в числителе формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае $x=a+b$ и $y=c$.
Числитель: $(a+b)^2-c^2 = ((a+b)-c)((a+b)+c) = (a+b-c)(a+b+c)$.
Подставим разложение в дробь: $\frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c}$.
Сократим общий множитель $(a+b+c)$.
Получаем: $a+b-c$.
Ответ: $a+b-c$