Номер 6.27, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.27. Решите уравнение:

1) $a^2x - b^2x = a^2 + 2ab + b^2$;

2) $3mx + 3nx = 6m^2 - 6n^2$;

3) $ax + x = a^2 + 2a + 1$;

4) $m^2x + 2mnx + n^2x = 3m^2 - 3n^2$.

1) $a^2x - b^2x = a^2 + 2ab + b^2$

Сначала преобразуем обе части уравнения. В левой части вынесем $x$ за скобки, а правую часть свернем по формуле квадрата суммы $(a+b)^2$.

$x(a^2 - b^2) = (a + b)^2$

Теперь в левой части применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$x(a - b)(a + b) = (a + b)^2$

Это линейное уравнение относительно $x$ с параметрами $a$ и $b$. Решение зависит от значений этих параметров. Рассмотрим различные случаи.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $a^2 - b^2 \neq 0$, что равносильно $a \neq b$ и $a \neq -b$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a - b)(a + b)$: $x = \frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a+b}{a-b}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю. Это возможно, если $a = b$ или $a = -b$.
- Если $a = -b$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (-b+b)^2$, то есть $0=0$. Это верное равенство, значит, $x$ - любое число.
- Если $a = b$, уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (a+a)^2$, то есть $0 = (2a)^2 = 4a^2$. Это равенство верно только при $a=0$. Если $a=b \neq 0$, то равенство $0=4a^2$ ложно, и уравнение не имеет решений. Случай $a=b=0$ уже учтен в условии $a=-b$.

Ответ: если $a \neq b$ и $a \neq -b$, то $x = \frac{a+b}{a-b}$; если $a = -b$, то $x$ - любое число; если $a = b \neq 0$, то корней нет.

2) $3mx + 3nx = 6m^2 - 6n^2$

В левой части вынесем за скобки общий множитель $3x$. В правой части вынесем $6$ и воспользуемся формулой разности квадратов.

$3x(m + n) = 6(m^2 - n^2)$

$3x(m + n) = 6(m - n)(m + n)$

Случай 1: $m + n \neq 0$, то есть $m \neq -n$.
Разделим обе части уравнения на $3(m + n)$: $x = \frac{6(m - n)(m + n)}{3(m + n)}$ $x = 2(m-n)$

Случай 2: $m + n = 0$, то есть $m = -n$.
Уравнение принимает вид $3x \cdot 0 = 6(m-n) \cdot 0$, что равносильно $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq -n$, то $x = 2(m-n)$; если $m = -n$, то $x$ - любое число.

3) $ax + x = a^2 + 2a + 1$

В левой части вынесем $x$ за скобки. Правую часть свернем по формуле квадрата суммы.

$x(a + 1) = (a + 1)^2$

Случай 1: $a + 1 \neq 0$, то есть $a \neq -1$.
Разделим обе части уравнения на $(a + 1)$: $x = \frac{(a + 1)^2}{a+1}$ $x = a + 1$

Случай 2: $a + 1 = 0$, то есть $a = -1$.
Уравнение принимает вид $x \cdot 0 = (-1+1)^2$, то есть $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $a \neq -1$, то $x = a+1$; если $a = -1$, то $x$ - любое число.

4) $m^2x + 2mnx + n^2x = 3m^2 - 3n^2$

В левой части вынесем $x$ за скобки, после чего свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы. В правой части вынесем $3$ и применим формулу разности квадратов.

$x(m^2 + 2mn + n^2) = 3(m^2 - n^2)$

$x(m + n)^2 = 3(m - n)(m + n)$

Случай 1: $m + n \neq 0$, то есть $m \neq -n$.
В этом случае $(m+n)^2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $(m+n)^2$: $x = \frac{3(m - n)(m + n)}{(m + n)^2}$ $x = \frac{3(m - n)}{m + n}$

Случай 2: $m + n = 0$, то есть $m = -n$.
Уравнение принимает вид $x \cdot 0^2 = 3(m-n) \cdot 0$, что равносильно $0=0$. Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: если $m \neq -n$, то $x = \frac{3(m-n)}{m+n}$; если $m = -n$, то $x$ - любое число.