Номер 6.24, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.24. Упростите выражение:

1) $\frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk}$;

2) $\frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1}$;

3) $\frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab}$;

4) $\frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab}$.

1) Упростим выражение $ \frac{m^2 + n^2 - k^2 + 2mn}{m^2 - n^2 + k^2 + 2mk} $.

Сначала преобразуем числитель. Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $ m^2 + n^2 - k^2 + 2mn = (m^2 + 2mn + n^2) - k^2 $.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(m+n)^2$.
Таким образом, числитель равен $(m+n)^2 - k^2$. Это разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ (m+n)^2 - k^2 = (m+n-k)(m+n+k) $.

Теперь преобразуем знаменатель. Также сгруппируем слагаемые для выделения полного квадрата: $ m^2 - n^2 + k^2 + 2mk = (m^2 + 2mk + k^2) - n^2 $.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $(m+k)^2$.
Таким образом, знаменатель равен $(m+k)^2 - n^2$. Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$ (m+k)^2 - n^2 = (m+k-n)(m+k+n) $.

Подставим полученные выражения обратно в дробь: $ \frac{(m+n-k)(m+n+k)}{(m+k-n)(m+k+n)} $.

Сократим общий множитель $(m+n+k)$: $ \frac{m+n-k}{m+k-n} $.

Ответ: $ \frac{m+n-k}{m+k-n} $

2) Упростим выражение $ \frac{a^3 - a^2 - a + 1}{a^4 - 2a^2 + 1} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ a^3 - a^2 - a + 1 = (a^3 - a^2) - (a - 1) = a^2(a - 1) - 1(a - 1) = (a^2 - 1)(a - 1) $.
Применив формулу разности квадратов $a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$, получаем: $ (a-1)(a+1)(a-1) = (a-1)^2(a+1) $.

Знаменатель $a^4 - 2a^2 + 1$ является полным квадратом разности. Если сделать замену $x=a^2$, получим $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Следовательно, $a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2 - 1)^2$.
Разложим $a^2-1$ на множители: $(a^2-1)^2 = ((a-1)(a+1))^2 = (a-1)^2(a+1)^2$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{(a-1)^2(a+1)}{(a-1)^2(a+1)^2} $.

Сократим общие множители $(a-1)^2$ и $(a+1)$: $ \frac{1}{a+1} $.

Ответ: $ \frac{1}{a+1} $

3) Упростим выражение $ \frac{1 - 3b + 3b^2 - b^3}{c - cb + a - ab} $.

Числитель $1 - 3b + 3b^2 - b^3$ представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. В данном случае, это $(1-b)^3$.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ c - cb + a - ab = (c - cb) + (a - ab) = c(1 - b) + a(1 - b) = (c+a)(1-b) $.

Подставим полученные выражения в дробь: $ \frac{(1-b)^3}{(a+c)(1-b)} $.

Сократим общий множитель $(1-b)$: $ \frac{(1-b)^2}{a+c} $.

Ответ: $ \frac{(1-b)^2}{a+c} $

4) Упростим выражение $ \frac{x^2 - ax + bx - ab}{x^3 + bx^2 + ax + ab} $.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ x^2 - ax + bx - ab = (x^2 - ax) + (bx - ab) = x(x-a) + b(x-a) = (x+b)(x-a) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки: $ x^3 + bx^2 + ax + ab = (x^3 + bx^2) + (ax + ab) = x^2(x+b) + a(x+b) = (x^2+a)(x+b) $.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь: $ \frac{(x+b)(x-a)}{(x^2+a)(x+b)} $.

Сократим общий множитель $(x+b)$: $ \frac{x-a}{x^2+a} $.

Ответ: $ \frac{x-a}{x^2+a} $