Номер 6.26, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.26. Докажите тождество:

1) $\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{x + c}{2x + y}$;

2) $\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{x + z}{(1 - y)^2}$;

3) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5} = \frac{1}{3a^2 - b^2}$.

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби методом группировки.

Разложим на множители числитель $ac + bx + ax + bc$:

$ac + bx + ax + bc = (ac + ax) + (bc + bx) = a(c+x) + b(c+x) = (a+b)(x+c)$

Разложим на множители знаменатель $ay + 2bx + 2ax + by$:

$ay + 2bx + 2ax + by = (2ax + 2bx) + (ay + by) = 2x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(2x+y)$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$\frac{ac + bx + ax + bc}{ay + 2bx + 2ax + by} = \frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(2x+y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{(a+b)(x+c)}{(a+b)(2x+y)} = \frac{x+c}{2x+y}$

В результате преобразования левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть тождества. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $x - xy + z - zy$ методом группировки:

$x - xy + z - zy = (x - xy) + (z - zy) = x(1-y) + z(1-y) = (x+z)(1-y)$

Знаменатель $1 - 3y + 3y^2 - y^3$ представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a=1$ и $b=y$, поэтому:

$1 - 3y + 3y^2 - y^3 = (1-y)^3$

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$\frac{x - xy + z - zy}{1 - 3y + 3y^2 - y^3} = \frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3}$

Сократим дробь на общий множитель $(1-y)$, при условии, что он не равен нулю:

$\frac{(x+z)(1-y)}{(1-y)^3} = \frac{x+z}{(1-y)^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть тождества, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$ методом группировки, предварительно переставив слагаемые:

$3a^3 - 6a^2b + ab^2 - 2b^3 = (3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$

Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$:

$9a^5 - 18a^4b - ab^4 + 2b^5 = (9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$

Выражение $(9a^4 - b^4)$ является разностью квадратов: $(3a^2)^2 - (b^2)^2$. Разложим его по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$9a^4 - b^4 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$

Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в левую часть тождества:

$\frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)}$

Сократим дробь на общие множители $(3a^2 + b^2)$ и $(a - 2b)$, при условии, что они не равны нулю:

$\frac{1}{3a^2 - b^2}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.