Номер 6.25, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6.25. Упростите дробь и найдите значение выражения:

1) $\frac{(a+b)^2 - c^2}{a+b+c}$ при $a=-3, b=5, c=3,4;$

2) $\frac{x^3 + x^2 y}{x^2 + 2xy + y^2}$ при $x=3, y=-2.$

1) Сначала упростим данное выражение. Числитель дроби $ (a+b)^2 - c^2 $ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где в нашем случае $x=a+b$ и $y=c$.

Получаем: $ (a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c) $.

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{(a+b)^2 - c^2}{a+b+c} = \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{a+b+c} $

При условии, что $ a+b+c \neq 0 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (a+b+c) $. В результате получаем:

$ a+b-c $

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $a=-3$, $b=5$, $c=3,4$.

Сначала проверим, выполняется ли условие $ a+b+c \neq 0 $:

$ -3 + 5 + 3,4 = 2 + 3,4 = 5,4 $.

Так как $ 5,4 \neq 0 $, упрощение было корректным. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

$ a+b-c = -3 + 5 - 3,4 = 2 - 3,4 = -1,4 $.

Ответ: -1,4

2) Сначала упростим выражение $ \frac{x^3 + x^2y}{x^2 + 2xy + y^2} $.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

В числителе $ x^3 + x^2y $ вынесем общий множитель $ x^2 $ за скобки:

$ x^3 + x^2y = x^2(x+y) $.

Знаменатель $ x^2 + 2xy + y^2 $ является полным квадратом суммы. Согласно формуле $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, получаем:

$ x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2 $.

Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{x^2(x+y)}{(x+y)^2} $

При условии, что $ x+y \neq 0 $, мы можем сократить дробь на общий множитель $ (x+y) $. В результате получаем:

$ \frac{x^2}{x+y} $

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $x=3$ и $y=-2$.

Проверим условие $ x+y \neq 0 $:

$ 3 + (-2) = 1 $.

Так как $ 1 \neq 0 $, упрощение было корректным. Подставим значения переменных в упрощенное выражение:

$ \frac{x^2}{x+y} = \frac{3^2}{3 + (-2)} = \frac{9}{1} = 9 $.

Ответ: 9